Beweisen Sie mit Hilfe der Taylorpolynome folgende Ungleichung

Question

also ich wusste nicht genau wie ich vorgehen soll, deshalb hab ich einfach mal rumprobiert und festgestellt, dass wenn man f(x) = x - x²/2 setzt und g(x) = ln(1+x) setzt bei den Taylorpolynomen jeweils x und x - x²/2 rauskommt. Ich kann mir durchaus vorstellen, dass das sehr mit dem Ergebnis zusammenhängt aber ich verstehe nicht was meine Zwischenergebnisse bedeuten (oder sind diese tatsächlich schon das Ergebnis??). Sollte ich völlig falsch liegen, wie gehe ich dann sonst am besten vor?

schon mal danke für die Hilfe

Comments

⁾Könnte jemand erklären, wie man auf diese Taylorpolynome kommt?

Ich benutze die Formel T_n(x)=f(x₀)+f´(x₀)(x-x₀)+\( \frac{1}{2!} \)f´´(x₀)(x-x₀)+ ... +\( \frac{1}{n!} \)f⁽ⁿ⁾(x-x0)

Und erhalte für f´(x)=\( \frac{1}{1+x} \)  und f´´(x)=- \( \frac{1}{(x+1)^2} \)

Und somit T₁(x)= \( \frac{x}{1+x} \) und T₂(x)= \( \frac{x}{1+x} \)- \( \frac{x}{2((x+1)^2)} \)

Kann mir jemand sagen, was ich falsch mache?

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Deine T_n sind keine Polynome. In deiner Formel heißt es f'(x₀) und f''(x₀) aber nicht f'(x) und f''(x). Setze für x₀ jeweils 0 ein. Dann kommst du auf die korrekten T_n.

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Achso, jetzt verstehe ich, danke dir!

Answer 1

Die Ungleichung, die Du beweisen sollst, liest sich als $$T_{2,0}(x)<\ln(1+x)<T_{1,0}(x).$$ Wegen $$\ln(1+x)=T_{1,0}(x)+R_{1,0}(x)\quad\text{und}\quad\ln(1+x)=T_{2,0}(x)+R_{2,0}(x)$$ muss $$R_{1,0}(x)<0\quad\text{und}\quad R_{2,0}(x)>0\quad\text{fuer $x\in\left]0,\infty\right[$}$$ sein. Zeige das durch Abschaetzung der Restglieder.

Comments

Das Restglied ist nicht von \( x \) sondern von einer Variablen zwischen \( 0 \) und \( x \) abhängig. Also \( \xi \in (0,x) \)

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Es ist \(\xi=\xi(x)\). Das Restglied ist eine Funktion von \(x\) und nur von \(x\).