Beweisen Sie die folgende Ungleichung mit Hilfe der Taylorpolynome

Question

Aufgabe:

Ich benötige bitte Hilfe mit dem Vorgehen! Dankeschön im Voraus.

Text erkannt:

Sei \( f:] 0, \infty[\rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( f(x):=\ln (1+x) \). Beweisen Sie die folgende Ungleichung
$$ \left.x-\frac{x^{2}}{2}<\ln (1+x)<x, \text { für } x \in\right] 0, \infty[ $$
a) mit Hilfe der Taylorpolynome \( T_{1}(x) \) und \( T_{2}(x) \) mit Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \).
b) mit Hilfe des Monotoniekriteriums (die linke Ungleichung) und mit Hilfe des Mittelwertsatzes (die rechte Ungleichung).

Comments

für b) wäre auch schon eine Hilfe, denke ich habe a) mittlerweile raus

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Für \(x\ge0\) definiere \(f(x):=\ln(1+x)-x+\tfrac{x^2}2\) und stelle fest, dass \(f(0)=0\) und \(f^\prime(x)=\tfrac{x^2}{1+x}>0\) für alle \(x>0\) ist.

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Könntest du mir die Lösung bitte schicken? Hab leider keine Ahnung wie man da rangeht