Parameterdarstellung und Kurven im Raum

Question

Eine kleine Gruppe von Studenten befindet sich in einem Freizeitpark. Sie werden auf ein bestimmtes Karussell aufmerksam. Der Karussellarm ist in der Höhe von 10 m befestigt und während der Fahrt ändert sich der Winkel zwischen dem
Karussellarm und der Karussellachse mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit a₁. Gleichzeitig dreht sich der Karussellarm
um diese Achse mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit a₂. Studenten stellen sich folgende Fragen:
(a) Wie ist die Parameterdarstellung der Kurve, die die Laufbahn von dern Karussellarm beschreibt?

(b) Wie groß ist die Beschleunigung für diesen Karussellarm? Wo ändert sich die vektorielle Beschleunigung am schnellsten?

(c) Wie groß ist die skalare Geschwindigkeit für diesen Karussellarm? Wann ist die Geschwindigkeit maximal? Wann steht
der Geschwindigkeitsvektor senkrecht zum Beschleunigungsvektor?

Wie bestimmt die Parameterdarstellung, Beschleunigung und skalare Geschwendigkeit?

Befindet das Karussell sich in eine Kreisbewegung mit konstanter Geschwendigkeit?

Answer 1

Befindet das Karussell sich in eine Kreisbewegung mit const. Geschwendigkeit?

Ja. Es steht auch in der Aufgabenstellung. Die Winkelgeschwindigkeit a2 ist konstant.

Zu (a) würde ich auf folgendes Ergebnis kommen.

$$ k:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\10 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}sin(a_1)\cdot cos(a_2) \\ sin(a_1)\cdot sin(a_2) \\ cos(a_1) \end{pmatrix}, \quad r\in[0,10]$$

r ist der Streckungsfaktor des Richtungsvektors, welcher die momentane Ausrichtung des Karussellarms darstellt. Somit kann man jeden Punkt auf diesem Arm während der Kreisbewegung erfassen.

$$ \begin{pmatrix}0\\0\\10 \end{pmatrix}\text{  Stützvektor} $$

$$ \begin{pmatrix}sin(a_1)\cdot cos(a_2) \\ sin(a_1)\cdot sin(a_2) \\ cos(a_1) \end{pmatrix} \text{  Richtungsvektor(Kugelkoordinaten)} $$

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten

Hier mal in GeoGebra (falls du es hast) eine Darstellung vom Karussellarm.

Karussell.ggb (11 kb)