Absolutes Minimum, das f auf der Menge A annimmt, gesucht

Question

Sei $$A: = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 3x^2 - y^2 + z^2 - 1 = 0}$$ und $$f: A \rightarrow \mathbb{R}$$ definiert durch $$f(x, y, z) := x^2 + y^2 + z^2$$. Zeigen Sie, dass f auf der Menge A ihr absolutes Minimum annimmt und berechnen Sie min f(a). Welches geometrisches Problem haben Sie dabei gelöst?

Answer 1

Das Infimum von f(A) ist der quadrierte Abstand des Nullpunktes von A. Da A abgeschlossen ist, wird der tatsaechlich angenommen. Hier ist ein Plot von A: https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+3x^2-y^2%2Bz^2-1%3D0. Zur Berechnung des Minimums siehe die Lagrangesche Multiplikatorenregel. Ergebnis: https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+x^2%2By^2%2Bz^2+where+3x^2-y^2%2Bz^2-1%3D0