ich bin dabei gewesen zur der folgenden Matrix die Gültigkeit des charakteristischen Polynoms per vollständiger Induktion zu beweisen. Doch an einer Stelle passiert etwas, was mir irgendwie nicht so recht klar werden will. Doch zunächst mein Beweis.
Behauptung:
Die Matrix $$ A=\begin{pmatrix}0& & \cdots & & 0 &-\alpha_0\\ 1& 0& \cdots & & 0 &-\alpha_1 \\ & 1& \ddots & 0& &\vdots \\ & & \ddots & & 0 &\vdots \\ &0 & & & 1 &-\alpha_{n-1}\end{pmatrix} $$
besitzt das charakteristische Polynom
$$ P_A(t)=(-1)^n(t^n+\alpha_{n-1}t^{n-1}+\cdots +\alpha_1t+\alpha_0),\quad \forall n \in \mathbb{N}. $$
Induktionsanfang:
Sei n0=1. Dann ist für $$ A=(-\alpha_0) \ \det(A-t\cdot E)=(-1)^1(t^1-\alpha_0). $$ Damit ist die Aussage für n=1 wahr.
Induktionsschritt:
-Angenommen die Aussage sei für ein beliebiges, aber festes, n∈ℕ wahr, sodass für die n×n Matrix A gilt:
$$ P_A(t)=(-1)^n(t^n+\alpha_{n-1}t^{n-1}+\cdots +\alpha_1 t+\alpha_0)$$.
-Dann gilt diese Aussage auch für die (n+1)x(n+1) Matrix
$$ \tilde{A}=\begin{pmatrix}0& & \cdots & & 0 &-\alpha_0\\ 1& 0& \cdots & & 0 &-\alpha_1 \\ & 1& \ddots & 0& &\vdots \\ & & \ddots & & 0 &\vdots \\ &0 & & & 1 &-\alpha_{n}\end{pmatrix} $$mit ihrem charakteristischen Polynom
$$ P_{\tilde{A}}(t)= (-1)^{n+1}(t^{n+1}+\alpha_{n}t^{n}+\alpha_{n-1}t^{n-1}+\cdots +\alpha_1t+\alpha_0) $$
-Dies zeigt man so:
Mittels laplaceschen Entwicklungssatz wird die Determiante der (n+1)x(n+1) Matrix mittels erster Enwicklungszeile bestimmt. Die dabei entstehende zweite Determinante ist 1. Und somit erhält man
$$ \det(\tilde{A}-t\cdot E) =\det\begin{pmatrix}0-t& & \cdots & & 0 &-\alpha_0\\ 1& 0-t& \cdots & & 0 &-\alpha_1 \\ & 1& \ddots & 0& &\vdots \\ & & \ddots & & 0-t &\vdots \\ &0 & & & 1 &-\alpha_{n}-t\end{pmatrix}\\=\det\begin{pmatrix}-t& & \cdots & & 0 &-\alpha_0\\ 1& -t& \cdots & & 0 &-\alpha_1 \\ & 1& \ddots & 0& &\vdots \\ & & \ddots & & -t &\vdots \\ &0 & & & 1 &-\alpha_{n}-t\end{pmatrix}\\=-t \cdot\det \begin{pmatrix}-t& & \cdots & & 0 &-\alpha_1\\ 1& -t& \cdots & & 0 &-\alpha_2 \\ & 1& \ddots & 0& &\vdots \\ & & \ddots & & -t &\vdots \\ &0 & & & 1 &-\alpha_{n}-t\end{pmatrix}+(-1)^{n+1}\cdot\alpha_0\cdot\det \begin{pmatrix}1& -t& \cdots & & 0 \\ & 1& \ddots & -t& \\ & & \ddots & &-t \\ &0 & & & 1 \end{pmatrix}\\ \stackrel{(IV)}{=}-t\cdot(-1)^n(t^n+\alpha_{n-1}t^{n-1}+\cdots +\alpha_2 t+\alpha_1)+(-1)^{n+1}\cdot\alpha_0\cdot1\\=(-1)^{n+1}(t^{n+1}+\alpha_{n}t^{n}+\alpha_{n-1}t^{n-1}+\cdots +\alpha_1t+\alpha_0) $$, was zu zeigen war.
Warum muss der Vorfaktor der zweiten Determinante (-1)^{n+1} sein??? Das verstehe ich nicht. Ich konnte nur so den Beweis durchführen, um dann den Induktionsschritt vollbringen zu können, ohne wirklich zu verstehen/ zu wissen warum... Mich würde das sehr brennend interessieren.
