n! <= (n/2)^n durch vollständige Induktion beweisen

Question

+Hallo, ich muss n! <= (n/2)^n beweisen durch vollständige Induktion.

Ich hänge jedoch im Induktionsschritt. Mein Ansatz wäre: $$\begin{aligned}(n+1)\cdot n! &\le (n+1) \cdot\left(\frac n2\right)^n &&|\,\text{Induktionsvoraussetzung}\\ &= (n+1) \cdot \left(\frac{n+1}{2(1+ \frac 1n)}\right)^n \\ &= \frac{n+1}2\cdot 2 \cdot \left(\frac{n+1}2\right)^n \cdot \left( \frac 1{1+\frac 1n}\right)^n \\ &= \left(\frac{n+1}2\right)^{n+1} \cdot 2 \cdot \left( \frac 1{1+\frac 1n}\right)^n\\ & \le \left(\frac{n+1}2\right)^{n+1} \cdot 2\end{aligned}$$(da 1/(1+1/n)^n < 1 jedoch werde ich die dazugehörige Ungleichung hier nicht explizit beifügen)

Und an der Stelle hängt es, da ich ((n+1)/2)^(n+1) * 2 habe und nicht ((n+1)/2)^(n+1). Die 2 kann ich nicht weglassen, da sie >1 ist und somit ((n+1)/2)^(n+1) * 2 nicht <=  ((n+1)/2)^(n+1).

Comments

Vom Duplikat:

Titel: n! <= 2 (n/2)^2 mit n elemnt N</p>

Stichworte: analysis,vollständige-induktion,fakultät,bernoulli,ungleichungen

Aufgabe:

Beweise mit vollständiger Induktion: Für alle n∈ℕ (ohne 0) gilt n!≤2(n/2)^n

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Blättere mal durch die Mathelounge.de, wurde kürzlich bearbeitet

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Dort sogar verschärft ohne den erleichternden Faktor 2.

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Hilfe zur Lösung findest Du hier.

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Sorry. Hatte die Frage ausversehen migriert und dabei wurde die Antwort von Arsinoë4

Vielleicht so:$$\frac{\left(\dfrac{n+1}2\right)^{n+1}}{(n+1)!}\ge\frac{\left(\dfrac{n+1}2\right)\cdot\left(\dfrac{n+1}2\right)^n}{(n+1)\cdot\left(\dfrac n2\right)^n}=\frac12\cdot\left(\frac{n+1}n\right)^n=\frac12\cdot\left(1+\frac1n\right)^n\ge\frac12\cdot\left(1+\frac nn\right)=1.$$

und Mathhilf gelöscht

Deine letzte Abschätzung ist zu grob. Benutze die Bernoulli Ungleichung.