Beweisen durch vollständige Induktion 3^(n+1) + 2^(3n+1) ist für alle n ∈ N durch 5 teilbar ist.

Question

Aufgabe:

Beweisen sie durch Vollständige Induktion. Die Zahl 3ⁿ⁺¹ + 2³ⁿ⁺¹ ist für alle n ∈ N durch 5 teilbar ist.

Problem/Ansatz:

Wenn die Aufgabe mit Summenzeichen angegeben ist, beherrsche ich die vollständige Induktion. Kann mir jemand das umformen? Oder muss ich das anders lösen?

Answer 1

Hallo Sandwurm123,

genau wie bei den Aufgaben mit Summenzeichen musst Du auch hier dahin streben in  dem neuen Ausdruck - also den mit \(n+1\) - den alten wieder zu finden. Es ist $$a_0 = 3^1 + 2^1 = 5$$ist durch \(5\) teilbar. Jetzt der Übergang nach \(n+1\):$$\begin{aligned} a_n &=  3^{n+1} +  2^{3n+1}\\ a_{n+1} &=  3^{(n+1)+1} + 2^{3(n+1)+1} \\ &= 3 \cdot 3^{n+1} + 8 \cdot 2^{3n+1} \\ &= 3\left( 3^{n+1} +  2^{3n+1}\right) + 5 \cdot 2^{3n+1} \\ &= 3a_n + 5 \cdot 2^{3(n+1)+1} \end{aligned}$$und dieser Ausdruck ist sicher durch 5 teilbar, wenn \(a_n\) durch \(5\) teilbar ist.

In der ersten Zeile habe ich die Faktoren \(3\) und \(2^3\) heraus genommen um zu den gleichen Zahlen wie in \(a_n\) zu kommen und anschließend das größtmögliche Vielfache - hier das dreifache - von \(a_n\) isoliert. Und schon steht die Lösung da ... alles klar?

Answer 2

Beweise für einen Startwert (0  oder 1 oder 2 oder ...)

Dann setze n+1 anstatt n ein und zerlege den Term in eine Summe mit dem Summanden \(3^{n+1}+2^{3n+1} \) und einen zweiten in der Form 5*(irgendwas).

Answer 3

Hallo :)

Die Aufgabe ist mit Vollständiger Induktion zu lösen.
Induktionsanfang:  Sei n=0

Dann setzt du für n die 0 ein und erhaltest: 3^1 + 2^1 = 5 ⇒ 5/5=1 somit stimmt der I.A.

Induktionsvor. : ∃ n ∈ ℕ : 3^n+1 + 2^3n+1 ist durch 5 teilbar

I.S.:

Jetzt musst du nur noch zeigen, dass es auch für n+1 gilt.