Schachtel mit offenen Deckel aus Karton herstellen. V soll max sein

Question

Aus einem rechtwinkligen Karton mit der Größe a=15cm und b=25cm soll eine offene Schachtel hergestellt werden. Dazu schneidet man an den Ecken Quadrate aus und faltet die Seitenwände nach oben. Wie muss die Seite der Quadrate gewählt werden um ein möglichst großes Volumen zu bekommen?

Dankeschön im Voraus:)

Answer 1

Das kannst du so wie in einer meiner alten Antworten machen (die Aufgabenstellung enthält ein schönes Bild!):

https://www.mathelounge.de/393045/volumen-maximal-mit-x-berechnen

Kontrolllösung: h = x ≈ 3,034 [cm]                (Runden nach euren Vorgaben!)

        [ die zweite Lösung entfällt, weil dann eine der Seiten negativ sein müsste ]

Bei Bedarf nachfragen :-)

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für die schnelle Hilfe:)

Answer 2

Extremwertaufgabe
Hier meine Berechnungen

Answer 3

Die Seitenlänge eines solchen Quadrates sei x. Dann hat die Schachtel die Höhe x, die Länge 25-2x und die Breite 15-2x. Dann ist das Volumen der Schachtel V(x)=x(25-2x)(15-2x). Ausmultiplizieren,Nullstellen der ersten Ableitng bestimmen und mit der 2. Ableitung das Maximum herausfinden.

Answer 4

    Eine Idea, die ich schon seit Langem verfolge. Ich symmetrisiere das Problem - durchaus mit einem gewissen Erfolg.  Wir definieren nämlich eine symmetrische und eine antimetrische Koordinate:

     s  :=  1/2  (  y  +  x  )        (  1a  )

  A  :=  1/2  (  y  -  x  )  =       (  1b  )

1/2  [  (  y  +  2  z  )  -  (  x  +  2  z  )  ]   =   (  1c  )

   =  1/2  (  25  -  15  )  =  5     (  1d  )

     x  =  s  -  A  =  s  -  5    (  2a  )

    y  =  s  +  A  =  s  +  5     (  2b  )

     Hauptbedingung

  V ( x ; y ; z ) = V ( s ; z ) = z ( s ² - 25 ) = max    (  3  )

   Nebenbedingung

     1/2  [  (  x  +  2  z  )  +  (  y  +  2  z  )  ]  =  (  4a  )

    =  1/2  (  15  +  25  )  =  20  =    (  4b  )

   =:  G  (  s  ;  z  )  =  s  +  2  z  =  const     (  4c  )

   Mit  ( 3;4c ) erfolgt wieder Giuseppe Lodovico Lagrangia;  der Lagrangeparameter von ( 4b ) sei k .

     H  (  s  ;  z  )  =:  V  (  s  ;  z  )  +  k  G  (  s  ;  z  )

   (  5a  )

   Notwendige Bedingung für Maximum: Der Gradient von H wird Null gesetzt .

       H_s  =  2  s  z  +  k  =  0    (  5b  )

       H_  z  =  s  ²  -  25  +  2  k  =  0     (  5c  )

    Elimination des Dummy  k  durch Gleichsetzen von ( 5bc )

     s  ²  -  4  s  z  =  25      (  6  )

    Kleiner IQ-Test gefällig?  Was ist ( 6 ) eigentlich für eine Kurve? Man könnte auf die Idee kommen, alles nach z umzustellen; 

    "  Gerade + Hyperbel "

   ( Sonst hätte ich euch ja nicht gefragt, wenn ich euch nicht hätte linken wollen. )  Es handelt sich bei ( 6 ) um eine Hyperbel, weil hier eine ===>  homogene quadratische Form ( HQF ) vorliegt; und hinter HQF verbergen sich grundsätzlich Kegelschnitte.

   Diese Erkenntnis ist mir mal gekommen im Zusammenhang mit einer anderen Extremwertaufgabe ( lange vor Matelounge versteht sich )

   Damit bin ich quasi der Entdecker der Habakuk Normalform der Hyperbel;  denn der " joke behind se cone-cut "   ist: Du kannst jede Hyperbel in die Form ( ax + b / x ) bringen; du musst nur das Zeichenblatt so drehen, dass eine der beiden Asymptoten  Verticot unter 90 ° C verläuft.

   Zurück zu unserem Problem; es läuft also darauf hinaus, dass die Gerade ( 4bc ) die Hyperbel ( 6 ) schneidet. ( 4c ) wird nach z umgestellt und in ( 6 ) eingesetzt:

     s  ²  -  p  s  +  q  =  0  |    MF        (  7a  )

   p = 40/3 = 13.33 ; q = ( - 25/3 ) = ( - 8.333 )  ( 7b )

   s  =  13.93  cm   (  7c  )

  ( 4bc ) ===>  z  =  3.035     ( 7c )

  x  =  15  -  2  z  =  8.93  cm     (  7d  )

   y  =  25  -  2  z  =  18.93  cm    (  7e  )