Schachtel mit Deckel, Volumen soll maximal sein.

Question

Aus einem Blech mit der Länge von 60 cm und Breite von 80 cm soll eine Kiste mit Deckel werden.

Wie komme auf die Höhe um das maximale Volumen zu berechnen. Komme einfach nicht dahinter. Bisher habe ich:

V = (2x-60)·(2x-80)
V = 4x² - 2x · 80 - 60 · 2x + 4800
V = 4x² -160x - 120x + 4800
V = 4x² -280x + 4800

Vielen Dank

Comments

> V = (2x-60)·(2x-80) 

Der Rauminhalt V ist das Produkt dreier Seiten

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Zeig mal die Skizze, die du dazu gezeichnet hast?

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Vielleicht lieber etwas zur Lösung beitragen?

V_max ≈ 12,13 l

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@Gast2044

In meiner korrigierten Antwort erhalte ich mit

x  ≈  11,315  [cm]  

→   V_max ≈ 12129 cm³ ≈ 12,13 Liter

 das gleiche Ergebnis wie @hj2144

Answer 1

In die 80 cm müssen zwei Höhen (h) und zwei Breiten (b) (Boden und Deckel). In die 60 cm muss eine Länge (l) und zwei Höhen (h) passen. 4 kleine Quadrate (hxh) werden Abfall.

80 = 2h + 2b oder (1) b = 40-h

60 = 2h + l oder (2) l = 60-2h

V(h)= h·l·b hier (1) und (2) einsetzen

V(h)= h·(60.2h)·(40-h) Eine Nullstelle der ersten Ableitung ist die gesuchte Höhe der Kiste.

Answer 2

habe das mit dem Deckel jetzt berücksichtigt:

V(x) = (40 - x)·(60 - 2·x)·x  = 2·x³ - 140·x² + 2400·x

Den x-Wert für das maximale Volumen erhält man als Lösung der Gleichung  V '(x) = 0

V '(x) = 6·x² - 280·x + 2400 = 0  |:6

⇔ x² - 140·x/3 + 400 = 0

pq-Formel →   

x  ≈  11,315  [cm]              [  x = 35,35183758 entfällt ] 

x in V(x) einsetzen  →  V_max ≈ 12129  [ cm³] 

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für die Hilfe. Kannst du mir vlt. noch erklären was am Ende dann Breite, Länge und Höhe bei dem Behälter wären?

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Die 4 kleinen Quadrate sind abgeschnitten.

x ist die Höhe,  60-2x = 37,37 cm  und 40-x = 28,685 cm sind  die Seitenlängen der Schachtel.

Welche der beiden du "Länge" oder "Breite" nennst ist eigentlich egal.

Du kannst doch das abgebildete "Flächennetz" einfach zu einer offenen Schachtel hochklappen und die dann mit dem rechten"Deckel"  schließen.

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Ok danke , nur habe ich das Problem das ich für Breite, Höhe und Länge je 3 Ziffern nach dem Komma benötige. In der Aufgabenstellung stand drin, das man durchgängig mit mindestens 4 Stellen nach dem Komma rechnen sollte.

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x = 11,31483  ,  den Rest kannst du dann ja wohl selbst rechnen :-)

Da hast du Glück, das ich es noch nicht  gelöscht hatte  :-)

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Muss es denn

a) aus einem Stück gefaltet werden? oder
b) Verschnittminimierung (Bleche)

Die praktische Lösung (ohne Formel) zu

a) ist ein Kubus mit 20cm Kantenlänge, 0,008m³ (16 Liter) der Verschnitt beträgt dann aber auch 6 Quadrate mit denen man nochmal so einen Kubus bauen kann.

b) Deckel und Boden sind 40cm * 40cm, die 4 Seiten sind 10cm x 40cm, es gibt keinen Verschnitt das Volumen ist dann 0,016m³ (16Liter), mithin mehr als oben.

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> Muss es denn aus einem Stück gefaltet werden?

Sonst kann man auch gleich

√[ (60* 80) / 6 ] = √800  ausrechnen und 6 Quadrate mit dieser Kantenlänge (in beliebiger Genauigkeit) irgendwie zusammenschweißen.

Dann habe ich einen Würfel mit dem garantiert größtmöglichen Volumen (√800)³ = 22,627... Liter.

Mit Verschnitt → 0

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@Wolfgang, mathematisch hast du Recht, aber in der Praxis gibt es sowohl bei Blechen, als auch bei Holz durchaus Maschinen die mit Verschnittoptimierung arbeiten. Daher auch meine Frage

In unserem Beispiel also für den Quader mit 6 ( 2+4 ) Teilen. Der mit dem grössten Volumen aus unserer Vorgabe

hatte dann 2x 30x30cm  und 4 mal 25x30cm, ohne Verschnitt 0,0225m³ (22,5l )

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Man sollte der Vollständigkeit halber begründen, warum  das abgebildete "Flächennetz"  in der Form A auf jeden Fall günstiger ist als in der Form B.

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Dann tu das mal (es reicht, wenn es nicht ungünstiger ist!)

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@Roman

Überraschend gute Maschine.

Die muss dann so ähnlich vorgehen wie ich.

Im Gegensatz zu mir fehlt ihr aber die beliebige Genauigkeit :-)