der graph der exponentialfunktion f mit fx=c*a^x

Question

verläuft durch die punkte P und Q. Bestimmen sie die Funktionsgleichung. Für welches x hat die Funktion den Wert 256

Comments

P(0/4) Q(4/0,5)

Answer 1

Punkte in f(x)=c·a^x einsetzen, ergibt (1) 4=c·a⁰; also c=4.

(2) 1/2=4·a⁴ also a=⁴√(1/8).Dann lautet die Funktionsgleichung f(x)=4·(1/8)^x/4.

Für den Wert 256 gilt 256=4·(1/8)^x/4.oder x= - 8.

Answer 2

f(x)=c*a^x  und

P(0/4)   ==>  4 = c*a^0 = c*1 = c

==> f(x)=4*a^x

Q(4/0,5) ==>  0,5 = 4*a^4

              <=>  0,125 = a^4

     ==>  a = 4.wurzel aus 0,125 = 2^-0,75   .

==>  f(x) = 4* (2^-0,75)^x

256 = 4* (2^-0,75)^x

64 =  (2^-0,75)^x = 2^-0,75x

2^6 =2^{-0,75x}  ==>    6 = -0,75x   ==>  x=-8

Also f(-8) = 256.

Comments

a = 4.wurzel aus 0,125 = 2^-0,75  . Ist ja richtig, aber warum so umständlich?

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Der Exponent in der Funktionsgleichung sollt

doch nur das x sein, nicht x/4.

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Selbst dann ist das Weiterrecnenen mit Bruchstricbrüchen einfacher als mit Dezimalbrüchen: f(x)=4·((1/8)^1/4)^x.