Unstetigkeit von abschnittsweiser Funktion

Question

Sei
$$ f(x, y) = ( x y^2/(x^2+y^4)  $$für $$ (x, y) \ne (0, 0) $$

und
0 für $$ (x, y) = (0, 0) $$
Zeigen Sie, dass f im Nullpunkt unstetig, also auch nicht differenzierbar ist, dass aber die
Richtungsableitung $$ \frac{\partial f}{\partial v} (0,0) $$ für jede Richtung v= (cos a, sin a ) für $$0 \leq a < 2$$ existiert.

Comments

Tipp:  Für alle \(z\ne0\) gilt \(f(z^2,z)=\frac12\).

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Vom Duplikat:

Titel: Im Nullpunkt unstetig

Stichworte: mittelwertsatz,differentialrechnung

sei f(x)=  xy²/(x^2+y^4) für (x,y)≠(0,0) ;

              0                     für (x,y) = (0,0)

Zeigen Sie , dass f im Nullpunkt unstetig, also auch nicht differenzierbar ist, dass aber die Richtungsableitung

δ f /δ v (0,0) für jede Richtung v=(cosα, sinα) für 0<=α<2π existiert.

Answer 1

Mit dem Tipp kannst du eine Folge von Punkten  konstruieren, die

den Grenzwert (0;0) hat, aber die Folge der Funktionswerte

geht gegen 1/2 und das ist nicht gleich f(0;0).

Comments

D.h man nähert sich über die Parabel an: Also

$$      lim_{  (z^2,z) \rightarrow (0,0)}    z^4/(z^4+z^4)    = 1/2            $$

Also unstetig.

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Wie berechnet  man dann die Richtungsableitung:

$$   f_v(0,0)=   lim _{t \rightarrow 0}     \frac{     f((0,0) + t (cos a, sin a) - f(0,0)  }{t} $$

$$ =   lim _{t \rightarrow 0} \frac{ t^3 cos (a) sin ^2(a)  }{(t^2 cos^2 (a) + t^4 sin^4(a)   )t} $$ $$ =  lim _{t \rightarrow 0} \frac{ cos(a) sin^2(a)}{cos^2 (a) + t^2 sin^2(a)}  = \frac{sin^2 (a)}{ cos (a)} $$

Ist das richtig?

Answer 2

f(x, y) = x·y^2/(x^2 + y^4)

Entlang (t, t) für t --> 0

t·t^2/(t^2 + t^4) = t/(t^2 + 1) = 0

Entlang (t, √t) für t --> 0

t·√t^2/(t^2 + √t^4) = 1/2

Wenn wir uns auf unterschiedlichen Wegen der Null nähern dann darf kein Unterschiedlicher Grenzwert heraus kommen. Damit ist die Funktion nicht stetig an der Stelle (0, 0).