Parabel dritter Ordnung

Question

Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, hat ein Extremum bei x=2 und schließt im 1.Quadranten mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt A=27 ein. Wie heisst die Gleichung dieser Parabel?

Answer 1

Hallo

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

 f(0)=0, berührt: f'(0)=0 daraus c und d

f'(2)=0 daraus Beziehung zwischen a und b, daraus die 2 te Nullstelle von f(x) (x^2 ausklammern)

 dann von 0 bis zu der zweiten Nullstelle integriere,  und =27 setzen, dadurch dann a und b.

Viel Erfolg lul

Answer 2

Eine Parabel 3. Ordnung
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
berührt die x-Achse im Ursprung,
f ( 0 ) = 0
f ´( 0 ) = 0
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ( 0) = a * 0 ^3 + b * 0 ^2 + c * 0 + d
=> d = 0
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x
f ´ ( x ) = 3a * x^2 + 2b * x + c
f ´ ( 0 ) = 3a * 0 ^2 + 2b * 0 + c = 0  => c = 0

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2
hat ein Extremum bei x=2
f ´( 2 ) = 0
f ´ ( 2 ) = 3a *  2 ^2 + 2b * 2 = 0
12a + 4b = 0

und schliesst im 1.Quadranten mit der x-Achse
eine Fläche vom Inhalt A=27 ein.
Stammfunktion
F ( x ) = a * x^4 / 4 + b * x^3 / 3
Der Integrationsanfang ist x = 0
2.Nullpunkt
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 = 0
a * x^3 + b * x^2 = 0
x^2 * ( a * x + b ) = 0
satz vom Nullprodukt
x = 0  bekannt
ax + b = 0
x = -b/a

Fläche
[ a * x^4 / 4 + b * x^3 / 3 ] zwischen 0 und -b/a = 27
a * ( -b/a)^4 / 4 + b * (-b/a)^3 / 3 = 27
1/4 * b^4 / a^3  - 1/3 * b^4 / a^3 = 27
- 1/12 * ( b^4 / a^3 ) = 27
b^4 / a^3 = -324
b^4 = -324 * a^3
und
12a + 4b = 0

a = -4
b = 12

Die Grafik zeigt. Es könnte stimmen.
Bitte alles nachrechnen.
bei Bedarf fragen.
Entwickelt bei 30 ° Außentemperatur.

Answer 3

Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, hat ein Extremum bei \(x=2\) und schließt im 1.Quadranten mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt \(A=27\) ein. Wie heißt die Gleichung dieser Parabel?

\(f(x)=a•[x^2•(x-N)]\)

\(f´(x)=a•[2x•(x-N)+x^2•1]\)

\(f´(2)=a•[2•2•(2-N)+2^2]=a•[4•(2-N)+4]=0\)  →  \(N=3\)

\(f(x)=a•[x^2•(x-3)]=a•[x^3-3x^2]\)

\(27=\int\limits_{0}^{3}a•[x^3-3x^2]dx\)

\(\frac{27}{a}=[\frac{x^4}{4}-x^3]_0^3=\frac{81}{4}-27=-\frac{27}{4}\)→\(a=-4\)

\(f(x)=-4•x^2•(x-3)\)