Antwort mit KI erzeugt
Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, wie man aus einer Gruppe von 12 Personen ein Team von 5 Personen auswählen kann, verwendet man die Kombinationen-Formel. Bei der Auswahl eines Teams ist die Reihenfolge, in der Mitglieder ausgewählt werden, nicht wichtig. Deshalb verwenden wir Kombinationen anstelle von Permutationen.
Kombinationen
Die Formel für die Berechnung der Anzahl der Kombinationen, um aus \(n\) Elementen eine Gruppe von \(k\) Elementen zu wählen, ist:
\(
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
\)
Wobei \(n!\) die Fakultät von \(n\) darstellt, was das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu \(n\) ist (z.B. \(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\)).
In diesem Fall beträgt \(n = 12\) (die Gesamtzahl der Personen) und \(k = 5\) (die Anzahl der Personen im Team).
Rechnung
Setzen wir unsere Werte in die Formel ein:
\(
C(12, 5) = \frac{12!}{5! \cdot (12 - 5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!}
\)
Berechnen wir nun die Fakultäten:
- \(12! = 479,\!001,\!600\)
- \(5! = 120\)
- \(7! = 5,\!040\)
Jetzt setzen wir die Werte in die Gleichung ein und vereinfachen:
\(
C(12, 5) = \frac{479,\!001,\!600}{120 \cdot 5,\!040} = \frac{479,\!001,\!600}{604,\!800} = 792
\)
Antwort
Es gibt 792 verschiedene Möglichkeiten, um ein Team von 5 Personen aus einer Gruppe von 12 Personen zu bilden.
