Ich arbeite gerade an der c). Im folgenden geht es mir erstmal darum zu schauen, ob meine Beweisidee wenigstens im Ansatz richtig ist und nach Hilfe bezüglich eines Problem bei dem ich absolut null Ahnung habe zu fragen.
Mein Ansatz: c wäre fertig wenn ich zeige, dass 1.) S und A Unterräume von M sind und 2.) die direkte Summe S+A gleich M ist d.h. ich muss neben der Gleichheit zeigen, dass
S∩A=0m
1.) Also, erstmal der Nullvektor, dieser ist in A und S enthalten in dem ich die Nullmatrix in die Bedingungen der Mengen einsetze und durchrechne (jedenfalls insofern ich -A richtig als A multipliziert mit dem Skalar -1 verstehe) . So nun zur skalaren Multiplikation. Sei
S : aij. Sei g∈K.(S′)ij : =g∗(S)ij=g∗(ST)ij=g∗aji=(S′T)ij Also erfüllt die Matrix nach Skalarmultiplikation immer noch die Bedingung der Menge. So würde ich nun mit dem Rest verfahren d.h. Addition und das gleiche nochmal für A.
2.) Bezu¨glich S∩A=0m wu¨rde ich versuchen S∩A=0m auf einen Widerspruch zu bringen
Nun meine Frage, wie zeige ich M=S+A? Könnte ich hier einfach einen Repräsentanten der jeweiligen Menge in der Form a_ij nehmen und mit den entsprechenden Eigenschaften (also z.B. ST=S) versuchen S und A zu addieren um M herauszubekommen? Wenn dem so ist, wie? Ich weiß nicht, ob es daran liegt, dass ich schon zu lange am Stück an dieser Aufgabe sitze und den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe oder ob das wirklich so schwer ist. Ich bekomme es gerade leider nicht hin :/
Außerdem, ist der restliche Ansatz zur Lösung als solches in Ordnung?
Beste Grüße,
planlos