Ereignisse A und A^c auf Unabhängigkeit prüfen

Question

Für das Ereignis A gelte P(A) = P(A^c). Unter welchen Bedingungen sind
dann die Ereignisse A und A^c unabhängig?

Answer 1

Unter welchen Bedingungen sind dann die Ereignisse A und A^c unabhängig?

Die Ereignisse A und A^c sind nie unabhängig, wenn P(A) = P(A^c) gilt. Wenn man weiß, dass A eingetreten ist, dann weiß man auch, dass A^c nicht eingetreten ist.

Comments

Die Ereignisse A und A^{c} sind nie unabhängig

Es sei denn sie sind unabhängig.

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Gemeint war natürlich unter der Einschränkung P(A) = P(A^c). Habe ich hinzugefügt.

Answer 2

A und A^c  sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn gilt:

P(A ∩ A^c) = P(A) · P(A^c)

P(A ∩ A^c) = P(A) · (1 - P(A)) = 0  , d.h  wenn  P(A) = 0  oder  P(A) = 1  gilt                                             (z.B. für A= { } oder A = Ω)

Gruß Wolfgang

Comments

Aus  P(A) = 0  folgt durchaus nicht, dass  A = ∅  ist !

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Da hast du natürlich mal wieder recht, danke für den Hinweis.  Habe das korrigiert.