Ausklammern und vereinfachen: Bsp. 5x² +7x² −5y² −7y²

Question

Mathe ist bei mir schon etliche Jahre her. Nun muss ich mich gezwungener Maßen wieder mit dem Thema auseinander setzen und habe einige Fragen.

 

Thema ausklammern

Bei einer solchen Aufgabe:

24xy - 16ay + 12y

Würde meine Lösung so aussehen: 4y(6x-4a+3)

Mit dieser Aufgabe habe ich absolut keine Probleme. Ich gehe wie folgt vor:

1.) Ich schaue ob die verschiedenen Bestandteile des Therms gleiche Variablen haben. In dem Beispiel wäre das y. Also kann ich diese schonmal ausklammern.

2.) Danach versuche ich für die Zahlen einen gemeinsamen Teiler zu finden. Für das Beispiel ist das die 4. Also klammer ich 4 aus und teile jede Zahl durch 4. 

Das war es dann eigentlich auch schon. Nun habe ich aber mit folgender Aufgabe riesige Probleme und weiß überhaupt nicht wo ich anfangen soll.

5x² +7x² −5y² −7y²

Das frustet mich natürlich sehr da die Aufgabe eigentlich nicht sonderlich schwer zu sein scheint.

Hat da jemand eine Idee bzw. kann mir sagen wie ich Schritt für Schritt vorgehen kann?

 

Grüße

Answer 1

Hi,

zuallererst ein Hinweis...es heißt "Term" und nicht "Therm" ;).

Was Du gerade beschrieben hast mache auch hier. Betrachte dafür zuerst mal nur jeweils zwei Summanden!

5x² +7x² −5y² −7y² = x^2(5+7)-y^2(5+7) = 12x^2-12y^2

oder auch 12(x^2-y^2)

 

Alles klar?

Grüße

Comments

Und wenn der Fragesteller hinter (x^2 - y^2) eine binomische Formel erkennt und die auch noch umwandelt bekommt er sicher Sonderpunkte :)

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Hat mir schon weitergeholfen,  :)


12x³ −12y³ −7x³ +7y³ bereitet mir aber schon wieder Schwierigkeiten, da diesmal x und y quasi im Wechsel auftauchen und nicht direkt hintereinander. Die Lösung ist: (12-7)*(x³-y³) = 5*(x³-y³).

Mit meinen oben genannten Schritten komme ich aber nicht auf das Ergebnis sondern auf:

6(2x³-2y³)-7(x³-y³) Mir fehlt da irgendwie der Blick für...

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Bei einer Addition kannst Du vertauschen. Tu das, um das wie gewünscht zu ordnen.

(Beachte: a-b = a+(-b) = -b+a ;) )

12x^3-7x^3-12y^3+7y^3 = x^3(12-7)-y^3(12-7) = 5x^3-5y^3 = 5(x^3-y^3)


Einverstanden?

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Wie wär's mit Zusammenfassen bevor man anfängt zu faktorisieren?

12 x ³ - 12 y ³ - 7 x ³ + 7 y ³

= 5 x ³ - 5 y ³

und jetzt sieht man doch sofort, dass man 5 ausklammern kann:

= 5 ( x ² - y ³ )

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Tu ich doch. Nur mach ich das einen Schritt langsamer, in dem ich das Distributivgesetz verwende. Da es da Probleme gibt lieber einen Schritt zu viel^^.

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Soweit klar. Nun noch eine letzte die es in sich hat:


56x3y3 +7x3z3 +64y3 +8z3


Macht es hier Sinn zunächst zusammenzufassen. Sprich die x3, y3 und z3 zu addieren?

56*2x6*2y6+7*2z6+64+8

56*2x6*2y13*2z+78

Und im Anschluss dann auszuklammern? Oder gehe ich einen völlig falschen weg?

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Bevor wir starten erst mal die Frage...geht es um x*3 oder um x^3? etc

Für x^3 etc beachte, dass Du nicht einfach addieren kannst! Eine Addition ist nur möglich, wenn die gleichen Variablen dabei sind (wie man schnell mit dem Distributivgesetz erkennt).


Das ist dann in der Tat etwas anspruchsvoller als die vorherigen. Mein Vorschlag:

56x^3 y^3 +7x^3 z^3 +64y^3 +8z^3 = 7x^3(8y^3+z^3) + 64y^3+8z^3

= 7x^3(8y^3+z^3)+8(8y^3+z^3) = (8y^3+z^3)(7x^3+8)


Du kannst folgen?

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Ach, sorry. Ich habe die Aufgabe kopiert und die ³ sind zu einer 3 geworden. Die eigentliche Aufgabe lautet

56x³y³ +7x³z³ +64y³ +8z³

Dann kann ich die Potenzen natürlich nicht einfach addieren.

7x³(8y³+z³)+8(8y³+z³) habe ich auch gemacht. Nur wie du dann auf (8y³+z³)(7x³+8) kommst ist mir noch nicht richtig klar.


Dennoch vielen Dank für deine ausführliche Hilfe!

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7x³(8y³+z³)+8(8y³+z³)

Du hast wieder zwei gemeinsame Faktoren. Diese kannst Du ausklammern. Übrig bleibt (7x^3+8).

Ingesamt also: (8y^3+z^3)(7x^3+8) ;)

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Jetzt habe ich es, vielen Dank nochmal :)

Wie ist das eigentlich wenn ich folgendes Beispiel habe:

10ab+2bc−8b²

würde ich dann wie folgt lösen:

2b(5a+c)-4b²

Oder kann man mit dem b² und dem b noch irgendetwas anfangen? Wenn ich es z.b. anders hinschreiben würde:

10ab+2bc−8b² = 10ab+2bc−8bb

2b(5a+c-4)

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10ab+2bc−8b² = 10ab+2bc−8bb

2b(5a+c-4b)

 

So ist das sinnvoller als Dein erster Vorschlag, welcher aber nicht falsch war.

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Okay, verstanden soweit. Nun habe ich noch eine Frage zum vereinfachen/zusammenfassen:


ay+by+az+bz


Wie ist hier vorzugehen? Ich weiß um ehrlich zu sein nichtmal wo ich anfangen soll...

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Den Fall hatten wir bereits bei Deinem ersten Kommentar ;).

Dir sollte auffallen, dass je zwei Summanden die gleiche Variable besitzen. Gehe entsprechen vor:

ay+by+az+bz = y(a+b)+z(a+b) = (a+b) * (y+z)

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Also ist es quasi auch nur ausklammern. Ich dachte ich müsste anders vorgehen :)

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Nochmal zur Kontrolle:


20ac+12ad−30bc−18bd:

4a(5c+3d)-6b(5c-3d)

Wie mache ich nun mit den Klammern weiter? Kann ich ja nicht einfach vorziehen, da sich die Vorzeichen ja unterscheiden. Einfach voneinander abziehen, sodass nur 4a-6b übrig bleibt?

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Wenn Du -6b ausklammerst, dann musst Du bei -18bd auch -6bd mitnehmen!

20ac+12ad−30bc−18bd

= 4a(5c+3d)-6b(5c+3d)

Das beende noch ;).

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Vorzeichen nicht beachtet, okay:


= 4a(5c+3d)-6b(5c+3d)

= (5c+3d)+4a-6b ?

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Was haste nun gemacht? Du hast doch eine Summe mit den Summanden

4a(5c+3d) und 6b(5c+3d). Die haben jeweils den gemeinsamen Faktor (5c+3d).

Den kannst Du also ausklammern:

= (5c+3d)*(4a-6b)

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Das war auch mein Plan. Die (5c+3d) auszuklammern. Kommt nach dem Faktor/den Faktoren den/die ich ausgeklammert habe also immer ein *? 

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Ja. Das ist ja der Sinn des Ausklammerns ;). Wenn Du das rückwärts machst heißt es ja ausmultiplizieren ;).

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Danke für deine Geduld :) Ich kann dir aber nicht versprechen das ich in einem anderen Thread nicht nochmal mit der einen oder anderen Frage auftauche :D Aber bis hier erstmal vielen Dank

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Kein Problem. Gerne ;).

Wenn was ist, einfach eine neue Frage stellen und man kümmert sich drum ;).