Extremalproblem E- Funktion

Question

ich habe eine Frage zu einem Extremwertproblem einer E Funktion.

Die Aufgabenstellung :

 Auf den Graphen von f(x)= 4x*e^-0,5x wandert der Punkt P (u/f(u)), u>0. Wie muss u gewählt werden, damit der Inhalt des markierten achsenparallelen Rechtecks maximal wird ?

Laut der Lösung ist A(u)= u*f(u)=4u^2*e^-0,5u.

u*f(u) macht ja noch Sinn doch wie kommt es zu dem Rest der Gleichung und warum ist A(u)= u*f(u)=4u^2*e^-0,5u ?

Ich bedanke mich im Voraus für hilfreiche Antworten. 

Answer 1

die Hauptbedingung ist hier die Fläche vom Rechteck also A=a*b, bzw. A(u,f(u))=u*f(u). Nebenbedingung ist die Begrenzung der Kurve f, also f(x)=4x*e^-0,5x. Das soll nun von u abhängen, also hat man f(u)=4u*e^-0,5u.

Und damit ist die Fläche nur noch von einer Größe, nämlich u, abhängig, so dass man als Flächeninhaltsformel das hier hat:

A(u)=u*f(u)=u*4*u*e^-0,5u=4u^2*e^-0,5u .

Answer 2

$$A(u) = u\cdot f(u) = u\cdot 4u\cdot e^{-0.5u} = 4u^2\cdot e^{-0.5u} $$Es wurde zusammengefasst!

Answer 3

  Ich propagiere immer  ===>  Logaritmisches Differenzieren, eine Sonderform des ===>  impliziten Differenzierens.  Wie du weißt, wird beim Logaritmieren die Rechenstufe um Eins erniedrigt.

     ln  (  y  )  =  2  ln  (  x  )  -  1/2  x       (  1  )

    y  '  /  y  =  0  =  2 / x  -  1/2  =  0  ===>  x  (  max  )  =  4     (  2  )