((x-1)((x² -x - 2)/x)) <= |x-1|

Question

Ich möchte diese Betragsungleichung mit Bruch lösen, was wäre eine sinnvolle Umformung und wie sehen die Fallunterscheidungen aus?

Comments

die fallunterscheidungen wären standardmäßig

1) |x-1| >= 0 ⇒ |x-1| = x-1

2) |x-1| < 0 ⇒ |x-1| = -( x - 1 ) = -x + 1

und dann losrechnen

---

eine sinnvolle umformung im sinne einer zusammenfassung des terms scheint nichts zu bringen, weil man wieder ausmultiplizieren muss:


(x-1)((x²-x-2)/x) <= |x-1|
((x-1)(x-2)(x+1))/x <= |x-1|

1) |x-1| >= 0 ⇒ |x-1| = x-1
2) |x-1| < 0 ⇒ |x-1| = -(x-1) = -x+1

1)

((x-1)(x-2)(x+1))/x <= x-1 | *1/x-1
((x-2)(x+1))/x <= 1 | *x
(x-2)(x+1) <= x
x²-x-2 <= x | -x
x²-2x-2 <= 0
x1 = 1 + √3
x2 = 1 - √3

1 - √3 <= x <= 1 + √3

2)
den zweiten fall kannst du mal selbst probieren

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vielen dank für die antwort aber ich hätte noch eine frage dazu, die mich etwas verwirrt. müsste man nicht dazu noch das X unter dem bruchstrich als fallbedingung mit angeben? oder kann man direkt im definitionsbereich angeben das x ungleich 0 sein muss und spart sich dann den fall - allerdings muss man doch dann noch prüfen ob x positiv/negativ ist? :/

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ja, dass x nicht 0 sein darf, sollte man im definitionsbereich angeben.

das vorzeichen von x wird mit den beiden fallunterscheidungen 1) und 2) quasi mit berücksichtigt.

x darf bei 1) ja auch negativ werden, solange es sich im bereich 1 - √3 <= x <= 1 + √3 befindet.

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beim zweiten hätte ich nun x <= √2 als ergebnis

dann wären meine intervalle folgend:

I. [1 -√3 ; 1 +√3]

und

II. (1 ; √2 ]

Wäre die Gesamtlösungsmenge dann diese?

[1-√3 ; 1+√3] \ {0}

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-1%29%28%28x%C2%B2+-x+-+2%29%2Fx%29%29+%3C%3D+|x-1|

bei wolframalpha schaut es irgendwie anders aus. :(

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oops, da hast du allerdings recht! :-/

die berechnen dort 1<=x<=1+√3 für den ersten fall.

sorry, aber ich sehe gerade meinen fehler nicht. :(

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ärgerlich aber trotzdem lieben dank für deine hilfe.

irgendwie ist das mit diesen ganzen unterschieden in den fallunterscheidungen ziemlich kompliziert. :S

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ja, das ist ärgerlich. ich hätte mal das ergebnis kontrollieren sollen.

ich werde mich mit dem problem noch weiter beschäftigen und mal den einen oder anderen mathematiker fragen, da ich im augenblick mit meinem latein am ende bin.

sobald ich etwas neues weiß, werde ich es hier bekannt machen.

lg

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hab gerade erfahren, dass man bei jedem multiplizieren/dividieren eine weitere fallunterscheidung machen muss. das wusste ich noch gar nicht! :O
oha, das würde bedeuten, dass man bei

(x-1)(x²-x-2)/x  <= x-1

vor dem multiplizieren mit x eine weitere fallunterscheidung x >= 0 und x < 0 machen müsste.
ich versuche mich mal daran, mal sehen ob dabei etwas neues ans tageslicht kommt. :p

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ich habe mein glück :D nochmal versucht und meinen fehler gefunden. ich poste den kompletten rechenweg neu, mit den zusätzlichen fallunterscheidungen

1)
|x-1| >= 0 ⇒ |x-1| = x-1

(x-1)(x²-x-2)/x  <= x-1
(x-1)(x-2)(x+1)/x <= |x-1|

1.1)
x > 0

(x²-x-2)/x         <= 1     | *x
(x²-x-2)           <= x
x²-x-2             <= x    | -x
x²-2x-2            <= 0
x1 = 1 + sqrt(3)
-> (1 + sqrt(3))^2 - 2(1 + sqrt(3)) - 2 = 0

x2 = 1 - sqrt(3)
-> (1 - sqrt(3))^2 - 2(1 - sqrt(3)) - 2 = -2.46

1.2)
x < 0

(x²-x-2)/x  <= 1     | *x
x²-x-2      >= x    | -x
x²-2x-2     >= 0
x1 = 1 + sqrt(3)
-> (1 + sqrt(3))^2 - 2(1 + sqrt(3)) - 2 = 0

x2 = 1 - sqrt(3)
-> (1 - sqrt(3))^2 - 2(1 - sqrt(3)) - 2 = -2.46 unbrauchbar weil x²-2x-2 >= 0 sein muss

2)

|x-1| < 0 ⇒ |x-1| = -( x - 1 ) = -x + 1
(x-1)(x²-x-2)/x <= -x + 1
(x-1)(x²-x-2)/x <= -(x - 1)     | * 1/(x - 1)
(x²-x-2)/x >= -1
2.1)

x > 0
x²-x-2/x >= -1            | *x
x²-x-2 >= -x            | + x
x²-2 >= 0  
x1 >= sqrt(2)
x2 >= sqrt(2)

2.2)
x < 0
x²-x-2/x >= -1            | *x
x²-x-2 <= -x            | +x
x²-2 <= 0            | +x
x1 <= sqrt(2)
x2 <= sqrt(2)

zusammenfassung fall 1:
|x-1| >= 0  und  x > 0 -> x1 = 1 + sqrt(3), x2 = 1 - sqrt(3)
|x-1| <= 0  und  x < 0 -> x1 = 1 + sqrt(3), x2 ist keine Lösung

zusammenfassung fall 2:
|x-1| <= 0  und  x > 0 -> x1 = x2 >= sqrt(2)
|x-1| <= 0  und  x < 0 -> x1 = x2 <= sqrt(2)

jetzt hilft wohl nur noch die betrachtung der nullstellen der beiden graphen.
man kann (x-1)(x²-x-2)/x umformen zu (x-1)(x-2)(x+1)/x und man sieht,
dass es 3 nullstellen gibt: x01 = -1, x02 = 1, x03 = 2.
die nullstelle x02 kommt in obiger rechnung gar nicht mehr vor, weil sie sich durch
die umformung * 1/(x - 1) herausgekürzt hat. da ist auch schon mein fehler begründet,
aus dem sich eine lösungsmenge ergibt, welche diese nullstelle nicht berücksichtigt!
der graph |x-1| hat eine nullstelle bei 1, das ist auch eine nullstelle des graphen (x-1)(x-2)(x+1)/x.
darum ergibt sich für die lösung im falle |x-1| >= 0 das intervall 1 <= x <= 1 + sqrt(3).
dann haben wir beim graphen (x-1)(x-2)(x+1)/x noch eine polstelle bei x = 0.
darum ergibt sich für die lösung im falle |x-1| < 0 das interval (-sqrt(2) <= x < 0).

danke, dass du dich nochmal gemeldet hast, um auf meinen fehler hinzuweisen!

lg

---

nochmal drübergeguckt ... also, hauptsächlich bestand mein fehler darin, dass ich die nullstelle des graphen |x-1| nicht beachtet hatte.

lg

Answer 1

@gorgar ich hab deine Antwort mal ls Antwort deklariert... da deis Aufgabe sonst als unbeantwortet zählt!

1)
|x-1| >= 0 ⇒ |x-1| = x-1

(x-1)(x²-x-2)/x  <= x-1
(x-1)(x-2)(x+1)/x <= |x-1|

1.1)
x > 0

(x²-x-2)/x        <= 1    | *x
(x²-x-2)          <= x
x²-x-2            <= x    | -x
x²-2x-2            <= 0
x1 = 1 + sqrt(3)
-> (1 + sqrt(3))^2 - 2(1 + sqrt(3)) - 2 = 0

x2 = 1 - sqrt(3)
-> (1 - sqrt(3))^2 - 2(1 - sqrt(3)) - 2 = -2.46

1.2)
x < 0

(x²-x-2)/x  <= 1    | *x
x²-x-2      >= x    | -x
x²-2x-2    >= 0
x1 = 1 + sqrt(3)
-> (1 + sqrt(3))^2 - 2(1 + sqrt(3)) - 2 = 0

x2 = 1 - sqrt(3)
-> (1 - sqrt(3))^2 - 2(1 - sqrt(3)) - 2 = -2.46 unbrauchbar weil x²-2x-2 >= 0 sein muss

2)

|x-1| < 0 ⇒ |x-1| = -( x - 1 ) = -x + 1
(x-1)(x²-x-2)/x <= -x + 1
(x-1)(x²-x-2)/x <= -(x - 1)    | * 1/(x - 1)
(x²-x-2)/x >= -1
2.1)

x > 0
x²-x-2/x >= -1            | *x
x²-x-2 >= -x            | + x
x²-2 >= 0 
x1 >= sqrt(2)
x2 >= sqrt(2)

2.2)
x < 0
x²-x-2/x >= -1            | *x
x²-x-2 <= -x            | +x
x²-2 <= 0            | +x
x1 <= sqrt(2)
x2 <= sqrt(2)

zusammenfassung fall 1:
|x-1| >= 0  und  x > 0 -> x1 = 1 + sqrt(3), x2 = 1 - sqrt(3)
|x-1| <= 0  und  x < 0 -> x1 = 1 + sqrt(3), x2 ist keine Lösung

zusammenfassung fall 2:
|x-1| <= 0  und  x > 0 -> x1 = x2 >= sqrt(2)
|x-1| <= 0  und  x < 0 -> x1 = x2 <= sqrt(2)

jetzt hilft wohl nur noch die betrachtung der nullstellen der beiden graphen.
man kann (x-1)(x²-x-2)/x umformen zu (x-1)(x-2)(x+1)/x und man sieht,
dass es 3 nullstellen gibt: x01 = -1, x02 = 1, x03 = 2.
die nullstelle x02 kommt in obiger rechnung gar nicht mehr vor, weil sie sich durch
die umformung * 1/(x - 1) herausgekürzt hat. da ist auch schon mein fehler begründet,
aus dem sich eine lösungsmenge ergibt, welche diese nullstelle nicht berücksichtigt!
der graph |x-1| hat eine nullstelle bei 1, das ist auch eine nullstelle des graphen (x-1)(x-2)(x+1)/x.
darum ergibt sich für die lösung im falle |x-1| >= 0 das intervall 1 <= x <= 1 + sqrt(3).
dann haben wir beim graphen (x-1)(x-2)(x+1)/x noch eine polstelle bei x = 0.
darum ergibt sich für die lösung im falle |x-1| < 0 das interval (-sqrt(2) <= x < 0).