basis bestimmen, damit darstellende Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist

Question

Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe. Wir haben sie auf dem Übungsblatt und ich habe jetzt auch schon eine Weile lang gegoogelt aber ich weiß nicht wie ich hier vorgehen muss. Kann mir das vielleicht jemand bei der Aufgabe a erklären und mir generell die Vorgehensweise erläutern?

Sei f_i: ℂ³->ℂ³ für i ∈ (1,2,3) die ℂ- lineare Abbildung, die bezüglich der Standardbasis des ℂ³ gegeben ist durch die darstellende Matrix A_i. Bestimmen Sie jeweils eine Basis B_i des C³, bezüglich derer die darstellende Matrix von f_i eine obere Dreiecksmatrix ist. Geben Sie auch diese obere Dreiecksmatrix an

a) A= (2 0 0

         1 1 0

         3 2 1)

Also ich weiß, dass die Standardbasis die Einheitsvektoren sind und dass eine obere Dreiecksmatrix unterhalb der Diagonalen nur Nullen hat. Doch wie gehe ich bei einer derartigen Aufgabe generell vor?

Comments

Also ich weiß, dass die Standardbasis die Einheitsvektoren sind und dass eine obere Dreiecksmatrix unterhalb der Diagonalen nur Nullen hat.

Das ist zu wenig. Schlag auch noch nach, wie man die darstellende Matrix erhaelt, wenn eine lineare Selbstabbildung und eine Basis gegeben ist.

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Ja das weiß ich glaub ich auch. Ist die Baisis (1,x,x²) so ist

f(1)=3x²+x+2= 2*1+1*x+3*x²

f(x)=x+2x²=0*1+1*x+2*x²

f(x²)=x²=0*1+0*x+1*x²

Daraus ergibt sich dann A.

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Aber leider weiß ich jetzt immer noch nicht weiter

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Du verwechselt das wohl mit Polynomraeumen. \(\mathbb{C}^3\) besteht aus Tripeln komplexer Zahlen. Die Einheitsvektoren sind $$e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}.$$

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Oh ja stimmt.

Dann ist

f(1,0,0)=(2,1,3)=2*(1,0,0)+1*(0,1,0)+3*(0,0,1)

f(0,1,0)=(0,1,2)=0*(1,0,0)+1*(0,1,0)+2*(0,0,1)

f(0,0,1)=(0,0,1)=0*(1,0,0)+0*(0,1,0)+1*(0,0,1)

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Deine Matrix \(A\) ist ja nun schon eine Dreiecksmatrix, aber eine untere. Jetzt ist eben die Frage, wie man da eine obere draus macht. Tipp: Eine Basis ist geordnet, hier ist \(K=(e_1,e_2,e_3)\). Bezueglich dieser Basis ist \(A\) die darstellende Matrix zu Deinem \(f\). Was kriegt man als darstellende Matrix raus, wenn man \(B=(e_3,e_2,e_1)\) nimmt?

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Also heißt das ich wähle die Basis (e3,e2,e1)  und dann erhält man

A=  (0 0 2

      0 1 1

      1 2 3)

oder?

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Du solltest Dir noch mal genau anschauen, wie das mit den darstellenden Matrizen so geht. Die Koordinatenvektoren der Bilder aendern sich auch, wenn man die Basiselemente anders anordnet. Du hast aber die gleichen wie vorher genommen. Wenn Du das noch richtig machst, hast Du Deine obere Dreiecksmatrix.

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie eine Basis, bezüglich derer die darstellende Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist

Stichworte: darstellende,matrix,dreiecksmatrix

Sei f: ℂ->ℂ die ℂ-lineare Abbildung, die bezüglich der Standardbasis des ℂ³ gegeben ist durch die dastellende Matrix A. Bestimmen Sie eine Basis B des ℂ³, bezüglich derer die darstellende Matrix von f eine obere Dreiecksmatrix ist. Geben Sie auch diese obere Dreiecksmatrix an.

A= (2  0  0

      1   1  0

      3  2  1 )

Ich weiß nicht wie ich hier vorgehen muss. Kann mir jemand bitte helfen?

Answer 1

Ich denke mal in deinem letzten Kommentar ist das eine untere Dreiecksmatrix.

Du brauchst aber eine obere. Also muss das Bild eines Basis Vektors sowas sein wie

x
0
0

.

Versuche so einen mit den Spalten der gegebenen Matrix darzustellen, dann

bekommst du z.B.

4
0
0

wenn du das Bild von

        2              0               0
2*    1      -2*    1           -2*0
       3               2                1

und damit ist

2
-2
-2

geeignet als 1. Basisvektor.   etc.

Comments

Ok und wie komme ich da drauf, dass ich jetzt die Basis

(2,0,0),(0,-2,0) und (0,0,-2) wählen muss?

Und gibt es in so einem Fall irgendein Schema wie man generell vorgeht?