Supremum-Ungleichung beweisen: ∀m∈M ∃n∈N : n≥m, M,N∈ℝ

Question

Aufgabe:

∀m∈M ∃n∈N : n≥m, M,N∈ℝ

Nun soll ich beweisen, dass sup M ≤ sup N gilt.

Ansatz/Problem:

Reicht es einfach dies zu schreiben? (S_{m/n} ist hier das Supremum)

∀m∈M: m≤S_m -> (∀m∈M: m≤S'_m) => S'_m ≥ S_m

und

∀n∈N: n≤Sn -> (∀n∈N: n≤S'n) => S'n ≥ Sn

===(weil n≥m)===> Sn ≥ Sm <=> supN≥supM

Oder muss ich das noch besser verlinken?

Comments

Was meinst du mit S'_m/n?

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mit S_n/m habe ich einfach das jeweilige Supremum gemeint.

Also S_m das Supremum von M.

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Ja, aber was heißt S'_m/n?

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Hallo Mister

Sist hier eine andere obere Schranke. S>S bedeutet, dann dass S die kleinste obere Schranke ist.

Sorry, dass ich verwirrliche Zeichen gesetzt habe.

Lg Tulbih

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Du müsstest nun zumindest deine Symbolik noch näher erläutern. Auch \( M, N \in \mathbb{R} \) kann für Teilmengen M und N von ℝ so nicht geschrieben werden. Aber \( M, N \subset \mathbb{R} \) geht. Auch die Schlussfolgerung "weil n >= m" sollte um eine Erläuterung ergänzt werden. Der finale Gedankenschritt sollte nicht nur implizit sein, sondern in der Beweisführung enthalten sein.

PS: Überhaupt ist die bloße Verwendung von Abkürzungszeichen eine sehr ungünstige Art der Beweisführung. Sprachliche Beweise sind in ihren Aussagen meistens kontextbezogener erfassbar.

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Hallo Mister

Du hast recht, es sollte M,N ⊂ ℝ stehen, habe ich auch übersehen.

Grundsätzlich zu "sprachlich vs. abkürzungen"; Unsere Vorlesungen sind halt fast alle immer in der abgekürzten Form geschrieben, einen "sprachlichen Beweis" musste ich noch nie machen und wüsste daher auch nicht was das richtige Vokabular dafür ist. (Da man ja wie ich denke sprachlich sehr exakt resp. unzweideutig sein muss.)

Zum meinem "weil n >= m", im Vorlesungsbuch wird als Begründung für eine Folgerung häufig so etwas oder ein Axiom/Proposition etc. hingeschrieben. Wenn ich den Gedanken sprachlich erfassen will reicht es ja wahrscheinlich nicht aus zu  sagen;

"Da n grösser m ist auch das Supremum von n grösser als das Supremum von m"

Hast du mir da einen Tipp?

Danke für die Hilfe..

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Naja. Nun ist es wieder so, dass n und m Zahlen sind. Das Supremum ist nicht auf Zahlen definiert, sondern auf Mengen. Somit kann ich mit der letzten Aussage schon wieder nichts anfangen.

So wie du deine Abkürzungen vorliest, so kann auch ein Satz auf dem Papier lauten. Das zwingt dann natürlich auch zu einer gewissen geistigen Klarheit.

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Hallo Mister

Das Supremum kann doch auch eine Zahl sein. (xeN: t = 1/x -> Sup(t)=1)

Die einzige Menge die ein Supremum von mir aus annehmen kann ist "∞".

Es ist ja die "Menge der oberen Schranken" und das Supremum dazu "die kleinste obere Schranke".

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Was kann ein Supremum denn noch sein, neben einer Zahl?

Meinst du, dass "∞" eine Menge ist oder dass das Supremum eine Menge annehmen kann?

Das Supremum ist eine Zahl und ist auf Mengen definiert. Du ordnest einer Menge ein Supremum zu.

Answer 1

Um zu beweisen, dass sup M ≤ sup N, können wir zunächst das Gegenteil annehmen, nämlich dass sup M > sup N. Da sup M die kleinste obere Schranke der Menge M ist, bedeutet dies, dass es ein Element m in der Menge M gibt, so dass m > sup N.

Aus der gegebenen Aussage ∀m∈M ∃n∈N : n≥m wissen wir jedoch, dass es für jedes Element m in der Menge M ein Element n in der Menge N gibt, sodass n größer oder gleich ist zu m.

Dies widerspricht der Annahme, dass m > sup N, da sup N die kleinste obere Grenze der Menge N ist und daher jedes Element n in der Menge N kleiner oder gleich sup N sein muss.

Daher ist die Annahme, dass sup M > sup N ist falsch und wir können schlussfolgern, dass sup M ≤ sup N.