Ich gehe davon aus, dass x ∈ R gelten soll, dass also die Grundmenge für die Lösung die reellen Zahlen sein sollen.
Zunächst bestimmt man die Nullstellen der Nenner, denn das sind die für die dann folgende Fallunterscheidung maßgeblichen Fallgrenzen. Die Nullstellen der Nenner sind x = - 5 bzw. x = 4
Fallunterscheidung:
Fall 1: x < - 5
Dann sind beide Nenner negativ und es gilt:
( ( x - 3 ) / ( x + 5 ) ) < ( ( x + 2 ) / ( x - 4 ) )
[Multiplikation mit beiden Nennern, beide Nenner negativ => Ungleichheitszeichen wechselt zweimal die Richtung(bleibt also, wie es ist):]
<=> ( ( x - 3 ) * ( x - 4 ) < ( ( x + 2 ) * ( x + 5 )
<=> x 2 - 7 x + 12 < x 2 + 7 x + 10
<=> - 14 x < - 2
<=> 14 x > 2
<=> x > 1 / 7
Da für diesen Fall x < - 5 vorausgesetzt war, ist die Lösungsmenge L1 für diesen Fall:
L1 = { x ∈ R | x < - 5 ∧ x > 1 / 7 } = { }
Fall 2: - 5 < x < 4
Dann ist x + 5 positiv und x - 4 negativ und es gilt:
( ( x - 3 ) / ( x + 5 ) ) < ( ( x + 2 ) / ( x - 4 ) )
[Multiplikation mit beiden Nennern, einer positiv, einer negativ => Ungleichheitszeichen wechselt die Richtung:]
<=> ( ( x - 3 ) * ( x - 4 ) > ( ( x + 2 ) * ( x + 5 )
<=> x 2 - 7 x + 12 > x 2 + 7 x + 10
<=> - 14 x > - 2
<=> 14 x < 2
<=> x < 1 / 7
Da für diesen Fall - 5 < x < 4 vorausgesetzt war, ist die Lösungsmenge L2 für diesen Fall:
L2 = { x ∈ R | - 5 < x < 4 ∧ x < 1 / 7 } = { x ∈ R | - 5 < x < 1 / 7 }
Fall 3: 4 < x
Dann sind beide Nenner positiv und es gilt:
( ( x - 3 ) / ( x + 5 ) ) < ( ( x + 2 ) / ( x - 4 ) )
[Multiplikation mit beiden Nennern, beide Nenner positiv => Ungleichheitszeichen bleibt, wie es ist:]
<=> ( ( x - 3 ) * ( x - 4 ) < ( ( x + 2 ) * ( x + 5 )
<=> x 2 - 7 x + 12 < x 2 + 7 x + 10
<=> - 14 x < - 2
<=> 14 x > 2
<=> x > 1 / 7
Da für diesen Fall 4 < x vorausgesetzt war, ist die Lösungsmenge L3 für diesen Fall:
L3 = { x ∈ R | 4 < x ∧ x > 1 / 7 } = { x ∈ R | 4 < x }
Insgesamt ergibt sich die Lösungsmenge L der gegebenen Ungleichung zu :
L = L1 ∪ L2 ∪ L3
= { } ∪ { x ∈ R | - 5 < x < 1 / 7 } ∪ { x ∈ R | 4 < x } = { x ∈ R | - 5 < x < 1 / 7 ∨ 4 < x }
Die Menge L ist nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt.
Das Infimum ist die größte untere Schranke einer Menge, das Infimum der vorliegenden Menge ist also Infimum = - 5
Da das Infimum der Menge selbst nicht zu der Menge gehört, hat die Menge kein Minimum.
Das Supremum ist die kleinste obere Schranke einer Menge. Da die vorliegende Menge aber nach oben unbeschränkt ist, existiert eine solche nicht. Die vorliegende Menge hat daher kein Supremum.
Aus dem gleichen Grunde hat die Menge auch kein Maximum.
Hier ein Schaubild der Ungleichung:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28x-3%29%2F%28x%2B5%29%29%3C%28%28x%2B2%29%2F%28x-4%29%29from-8to8
Die schraffierten Bereiche sind die, in denen die Ungleichung gilt. Die entsprechenden Werte der Lösungsmenge können auf der x-Achse abgelesen werden.
Nachbemerkung:
Solange du die Leute hier nicht kennst, solltest du mit deinen Beurteilungen etwas vorsichtiger umgehen...
Denn eines ist sicher: tatmas hätte die Lösung locker aus dem Handgelenk schütteln können.
Seine scheinbare "Ahnungslosigkeit" beruhte auf deinem Fehler, denn du hast in deiner Fragestellung wichtige Informationen weggelassen, vermutlich, weil du sie für unwichtig hieltest ...