-1 / n^2 Supremum, Infinum, Maximum, Minimum - richtig so?

Question

Aufgabe:

B: = { -1 / n² | n ∈ N }  ⊆ R

Problem/Ansatz:

n₁ = -1   n₂ = -0.25

n_{n =} konvergiert gegen 0  

-1 < nn < 0

daraus folgt das -1 ein Infinum ist weil es in R liegt, aber kein Minimum, da es nicht in der Menge B liegt.

0 ist eine obere Schranke und auch das Supremum da es in R liegt. Weil 0 aber nicht in der Menge B liegt, ist es nicht das Maximum.

Stimmt das so? oder ist noch etwas falsch begründet?

Answer 1

Für alle n gilt   -1 ≤ a_n < 0    ( -1 kommt doch in B vor ! )

[Diese Ungleichung musst du vielleicht auch noch näher begründen .}

==>  -1 ist das [nicht ein !] Infimum und  weil es in B liegt, ist es das Minimum.

0 ist eine obere Schranke und auch das Supremum da es in R liegt. Weil 0 aber nicht in der Menge B liegt, ist es nicht das Maximum. ✓

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Comments

ok. Ich glaube ich habe ein Verständnisproblem betreffend der Menge. Da es ja heisst n ∈ N , dachte ich das deshalb -1 nicht in der Menge liegt. Oder liegt es lediglich nicht in der Menge, wenn der Wert (bsp 0) nicht erreicht wird? 0 ist ja Grenzwert. -1 wird ja erreicht mit n=1. Und -1 liegt ja in R. Stimmt diese Überlegung?

Näher begründen - in etwa so?

-1/n²  konvergiert mit n gegen unendlich gegen den Wert 0. n = 1 ergibt mit -1 der kleinste mögliche Wert. Alle Folgeglieder liegen daher zwischen [-1 , 0 ).

Danke dir!

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-1 wird ja erreicht mit n=1. Stimmt diese Überlegung?   JA!

-1/n² konvergiert (mit)  für   n gegen unendlich gegen den Wert 0. n = 1 ergibt mit -1 den kleinsten möglichen Wert, denn die Folge ist streng monoton wachsend.

[ ggf. hierzu der Nachweis wäre ja zu führen durch den Nachweis von

         -1/n^2  < -1/(n+1)^2   | *n^2 *(n+1)^2

<=>     -(n+1)^2 < -n^2

<=>     (n+1)^2 > n^2

<=>   n^2 + 2n + 1 > n^2

<=>           2n+1 > 0

 <=>      2n > -1

<=>       n > -1/2   gilt offenbar für alle n∈ℕ ]

Alle Folgeglieder liegen daher zwischen [-1 , 0 ).

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ach so! Mit der Monotonie begründen =)

super! Danke dir =)