Infinum, Maximum, Minimum und Supremum der Ungleichung ((x-3)/(x+5))<((x+2)/(x-4))

Question

((x-3)/(x+5))<((x+2)/(x-4))

ich habe keinen Schimmer :/

Soweit ich weiß muss man für die Extremwerte ableiten etc...hab im inet jetzt schon verschwommen herausgelesen, dass man die x Werte benötigt, weiß aber nicht was die mir sagen sollen...

Wäre dankbar für eine unkomplizierte Antwort :)

Comments

Ich hab auch keinen Schimmer was du meinst. Einen Begriff wie das Infimum,... einer Ungleichung gibt es nicht bzw. ist extrem ungebräuchlich. Was soll das also sein? Bzw. was ist die eigentliche Aufgabe?

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die Aufgabe ist die oben stehende Ungleichung und "bestimmen Sie, falls vorhanden, das Infimum, Maximum, Minimum und Supremum dieser Menge."

Wenn dir die Begrifflichkeiten nichts sagen, weiß ich nicht ob du der richtige Ansprechpartner für diese Problematik bist :/

Trotzdem danke

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Du heißt hier das entscheidende weggelassen "dieser Menge". d.h. es ist die Menge aller Zahlen (aus welchem Zahlenbereich hast du ja auch weggelassen) zu bestimmen, die die Ungleichung erfüllen. Und von dieser Menge dann Infimum etc. Da ich offensichtlich davon keine Ahnung habe habe ich ich trotzdem keine Lust das jetzt vorzurechnen.

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:D das war keine Absicht entschuldigung...dafür, dass du keine Ahnung hast klang das sehr kompetent.

Die Lösungsmenge lautet A von (?) R.

Für A habe ich -0,1 raus...

Jetzt sind halt noch die Extremwerte gefragt...

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Zitat von Gast: "dafür, dass du keine Ahnung hast klang das sehr kompetent."

Ich glaube, du hast nicht verstanden, dass tatmas die Aufgabe sehr wohl lösen kann. Aber nach deinem Kommentar von oben ("Wenn dir die Begrifflichkeiten nichts sagen, weiß ich nicht ob du der richtige Ansprechpartner für diese Problematik bist :/") hat er wohl keine Lust mehr, dir zu helfen...

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Meiner Meinung nach ist dies eine Ungleichung

((x-3)/(x+5))<((x+2)/(x-4))

für die es gilt eine Lösungsmenge zu suchen.

Wird für x = 6 eingesetzt stimmt die Ungleichung.

Eine ( Teil- ) Lösungsmenge wäre x > 5.

Ich rechne gern weiteres vor. Mit den Fragen nach
Maximum, Minimum usw kann ich bei der Aufgabe
nichts anfangen.

mfg Georg

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass x ∈ R gelten soll, dass also die Grundmenge für die Lösung die reellen Zahlen sein sollen.

Zunächst bestimmt man die Nullstellen der Nenner, denn das sind die für die dann folgende Fallunterscheidung maßgeblichen Fallgrenzen. Die Nullstellen der Nenner sind x = - 5 bzw. x = 4

Fallunterscheidung:

Fall 1: x < - 5

Dann sind beide Nenner negativ und es gilt:

( ( x - 3 ) / ( x + 5 ) ) < ( ( x + 2 ) / ( x - 4 ) )

[Multiplikation mit beiden Nennern, beide Nenner negativ => Ungleichheitszeichen wechselt zweimal die Richtung(bleibt also, wie es ist):]

<=> ( ( x - 3 ) * ( x - 4 ) < ( ( x + 2 ) * ( x + 5 )

<=> x ² - 7 x + 12 < x ² + 7 x + 10

<=> - 14 x < - 2

<=> 14 x > 2

<=> x > 1 / 7

Da für diesen Fall x < - 5 vorausgesetzt  war, ist die Lösungsmenge L₁ für diesen Fall:

L₁ = { x ∈ R | x < - 5 ∧ x > 1 / 7  } = { }

 

Fall 2: - 5 < x < 4

Dann ist x + 5 positiv und x - 4 negativ und es gilt:

( ( x - 3 ) / ( x + 5 ) ) < ( ( x + 2 ) / ( x - 4 ) )

[Multiplikation mit beiden Nennern, einer positiv, einer negativ => Ungleichheitszeichen wechselt die Richtung:]

<=> ( ( x - 3 ) * ( x - 4 ) > ( ( x + 2 ) * ( x + 5 )

<=> x ² - 7 x + 12 > x ² + 7 x + 10

<=> - 14 x > - 2

<=> 14 x < 2

<=> x < 1 / 7

Da für diesen Fall - 5 < x < 4 vorausgesetzt  war, ist die Lösungsmenge L₂ für diesen Fall:

L₂ = { x ∈ R | - 5 < x < 4 ∧ x < 1 / 7  } = { x ∈ R | - 5 < x < 1 / 7  }

 

Fall 3: 4 < x

Dann sind beide Nenner positiv und es gilt:

( ( x - 3 ) / ( x + 5 ) ) < ( ( x + 2 ) / ( x - 4 ) )

[Multiplikation mit beiden Nennern, beide Nenner positiv => Ungleichheitszeichen bleibt, wie es ist:]

<=> ( ( x - 3 ) * ( x - 4 ) < ( ( x + 2 ) * ( x + 5 )

<=> x ² - 7 x + 12 < x ² + 7 x + 10

<=> - 14 x < - 2

<=> 14 x > 2

<=> x > 1 / 7

Da für diesen Fall 4 < x vorausgesetzt  war, ist die Lösungsmenge L₃ für diesen Fall:

L₃ = { x ∈ R | 4 < x  ∧ x > 1 / 7  } = { x ∈ R | 4 < x  }

 

Insgesamt ergibt sich die Lösungsmenge L der gegebenen Ungleichung zu :

L = L₁ ∪ L₂ ∪ L₃

= { } ∪ { x ∈ R | - 5 < x < 1 / 7  } ∪ { x ∈ R | 4 < x  } = { x ∈ R | - 5 < x < 1 / 7 ∨ 4 < x }

 

Die Menge L ist nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt.

Das Infimum ist die größte untere Schranke einer Menge, das Infimum der vorliegenden Menge ist also Infimum = - 5

Da das Infimum der Menge selbst nicht zu der Menge gehört, hat die Menge kein Minimum. 

Das Supremum ist die kleinste obere Schranke einer Menge. Da die vorliegende Menge aber nach oben unbeschränkt ist, existiert eine solche nicht. Die vorliegende Menge hat daher kein Supremum.

Aus dem gleichen Grunde hat die Menge auch kein Maximum.

 

Hier ein Schaubild der Ungleichung:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28x-3%29%2F%28x%2B5%29%29%3C%28%28x%2B2%29%2F%28x-4%29%29from-8to8

Die schraffierten Bereiche sind die, in denen die Ungleichung gilt. Die entsprechenden Werte der Lösungsmenge können auf der x-Achse abgelesen werden.

 

Nachbemerkung:
Solange du die Leute hier nicht kennst, solltest du mit deinen Beurteilungen etwas vorsichtiger umgehen...
Denn eines ist sicher: tatmas hätte die Lösung locker aus dem Handgelenk schütteln können.
Seine scheinbare "Ahnungslosigkeit" beruhte auf deinem Fehler, denn du hast in deiner Fragestellung wichtige Informationen weggelassen, vermutlich, weil du sie für unwichtig hieltest ...