Question

Untersuchung einer Exponentialfunktionenschar
Für a∈ IR^>0 ist die Funktionenschar fa mit fa(x) = e^2x ‒ a·e^x gegeben.
a) Untersuchen Sie fa auf Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Fernverhalten.

b) Zeichnen Sie die Graphen f2 und f3 im Intervall [ ‒3; 1,2] mit dem GTR.
c) Bestimmen Sie die Ortslinie der Extrema.
d) (1) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von fa.
(2) Berechnen Sie für a > 1 das Maß der Fläche Aa, die im vierten Quadranten von fa und           den Koordinatenachsen umschlossen wird.

Lösungen zum Übungsblatt 30 LK Mathematik 4. Sem (ohne Gewähr) a)Nullstellen: fa (x)=0 ⇔e^2x ‒a·e^x =0⇔e^x(e^x ‒a)=0⇔e^x =a⇔x=lna

fa’(x) = 2e^2x ‒ a·e^x fa”(x) = 4e^2x ‒ a·e^x fa’’’(x) = 8e^2x ‒ a·e^x 
fa’(x)=0⇔2e^2x ‒a·e^x =0⇔e^x(2e^x ‒a)=0⇔2e^x ‒a=0⇔e^x =a/2 ⇔x=ln(a/2)

  mögliche Extremstellen
fa”(ln(a/2))=4· (a²/4) ‒a·(a/2) =a²-(a²/2)=(a²/2)>0 TP

fa(ln(a/2))= (a²/4)-a·(a/2) =‒(a²/4)                                                   Ta(ln(a/2)/‒(a²/4) )

Wer kann mir bei der Aufgabe weiter helfen?????

Answer 1

  Ich führe zunächst die Substitution ein

     u  :=  exp  (  x  )     (   1a  )

   Mit ( 1a )  nimmt die Grafenschar die Form einer Parabelgleichung an:

      f  [  u  (  x  )  ]  =  u  ²  -  a  u     (  1b  )

    Nullsellen

     u  (  u  -  a  )  =  0  ===>  u  =  a       (  2a  )

     Die e_Funktion kann nie Null werden;  und die Wurzel u2 = a  ist nur denkbar für a > 0  . Die e-Funktion kann schließlich nie negativ werden.

   u  =  exp  (  x  )  =  a    |  ln    (  2b  )

     x0  =  ln  (  a  )          (  2c  )

   An sich soll man Minuszeichen nie verstecken; Fallunterscheidung. Für a = 1  ist x0 = 0 ;  und für a < 1  solltest du schreiben

         x0  =  -  ln  ( 1/a  )       (  2d  )

   Für eine Kurvendiskussion ist dieses Vorgehen ja vorbildlich; Ableiten is noch lange nich.  Gleich nach den Nullstellen  kommt die Asymptotik, die - nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum - sehr schön umschrieben ist mit dem Wort  "  Fernverhalten "

   Schauen wir uns ( 1ab ) nochmal an; mit x ===> ( - °° )  geht u ja gegen Null.  Und damit geht für a > 0  asymptotisch f ( u ) ===>  ( - 0 )  , da wir uns innerhalb des Intervalls  ( u1 ; u2 ) befinden. ( Für a < = 0 geht f ( u ) ===>  ( + 0 ) ) Und mit u ===>  ( + ° )   geht schließlich jedes Polynom gegen Unendlich, so auch ( 1b )

   Aus diesen Befunden schließen wir für a > 0

     x_w  <  x  (  min  )  <  ln  (  a  )     (  3  )

   Für die Ableitung von ( 1b ) musst du in ( 1a ) lediglich die Kettenregel beachten

      ( du/dx )  =  u      (  4a  )

   f  '  (  x  )  =  2  u  ²  -  a  u  =  0   ===>  x  (  min  )  =  ln ( a/2 )        (  4b  )

  f  "  (  x  )  =  4  u  ²  -  a  u  =  0  ===>  x_w  =  ln ( a/4 )          (  4c  )

   Und jetzt die Ortskurve. Ohne Witz; das wird hier mit schöner Regelmäßigkeit falsch gemacht.  Gipfel der Ironie; den Namen des Portals, wo ich es als längst berufstätiger von unmündigen Schülern lernen durfte ( Es ist eh Geschichte ) darf ich hier nicht zitieren.

   Und sie konnten es alle Fehler los ...

   Weil selbst wenn ich diesen Namen auseinander schreibe, so dass es der dumme Editor nicht erkennt.

   Die Moderatoren lesen jedfes Komma von mir. Nicht etwa, um mir gut gemeinte Ratschläge zu erteilen, wofern meine Beweise fehlerhaft sein sollten.

   Nein; um mir zu drohen. wenn ich jenen Namen zitiere, der hier so tabuisiert ist wie der Name Gottes " Jhwh " in der jüdischen Liturgie .

   Worauf es hinaus läuft. In ( 1b ) musst du doch setzen a = a ( u ) , wenn du f_min ausdrückem willst durch u .  Und in ( 4b ) hatten wir doch gesagt

           a  =  2  u      (  5a  )

   Dies   eingesetzt in ( 1ab ) ergibt

     f_min  =  -  u  ²  =  -  exp  (  2  x  )         (  5b  )

   Wir haben hier doch einen jungen Freund, der jede Aufgabe aus der Analysis durch Plotten veranschaulicht. Wäre echt einen Versuch wert;  die Kurvenschar in   rot, beschriftet mit dem Wert des Parameters a .  An dem Minimum jeder Kurve möge jeweils der zugehörige a-Wert stehen.  Und die ganzen Minima erscheinen dann verbunden durch eine Ortskurve in Blau .