Textaufgabe,Inverse der Funktion,bedeutung und zeit

Question

Der Akku für das Blitzlicht einer Kamera lädt direkt nach dem Blitzen wieder auf.Die Speicherkapazität verhält sich dabei gegen die Zeit als Funktion Q (t),die maximale Speicherkapazität ist Q₀ , t ist die Zeit , a ist eine herstellerseitige Eigenschaft des Akkus.

Q(t) = Q ₀ (1-e^-t/a)

Wie lautet die Inverse dieser Funktion?Was für eine Bedeutung hat sie?Wie lange dauert dauert es,den Akku wieder auf 90% des max. Speichers zu brngen,wenn a=2 ?

Answer 1

Die Funktion

Q ( t ) = Q₀ * (1 - e ^{- t / a} )

gibt an, welche Speicherkapazität Q ( t ) nach t Sekunden erreicht worden ist.

 

Die Inverse zu dieser Funktion (auch "Umkehrfunktion" genannt) erhält man durch Auflösen nach der Variablen t:

Q ( t ) = Q₀ * (1 - e ^{- t / a} )

<=> Q ( t ) / Q₀ =  1 - e ^{- t / a}

<=> e ^{- t / a} = 1 - ( Q ( t ) / Q₀ )

<=> - t / a = ln ( 1 - ( Q ( t ) / Q₀ ) )

<=> t = - a *  ln ( 1 - ( Q ( t ) / Q₀ ) )

Diese Funktion gibt an, nach welcher Zeit t eine vorgegebene Speicherkapazität Q ( t ) erreicht worden ist.

 

Man benötigt diese Funktion auch für die Antwort auf die letzte Frage:

90 % der Speicherkapazität ist erreicht, wenn gilt: Q ( t ) / Q₀  = 90 % = 0,9 , also gilt mit a = 2:

 t = - 2 *  ln ( 1 - 0,9 )

= - 2 * ln ( 0,1 )

= 4,605...

Es dauert also etwa 4,6 Sekunden, bis der Speicher zu 90 % seiner Kapazität gefüllt ist.

Comments

Welche Bedeutung hat a in dieser Aufgabe