Partialbruchzerlegung

Question

Ich steh kurz vor den Prüfungen aber ich komm immernoch nicht mit der Partialbruchzerlegung klar.

Kann mir jmd. die Aufgabe bitte erklären

(x^2+3x-5)/(x-3)*(x^2+4)

Answer 1

Hey keine Sorge,

da kann ich dir gerne bei helfen :)

Also der Ansatz ist:

$$ \frac{A}{x-3} + \frac{Bx+C}{x^2+4} $$

Wie komme ich da drauf? Du hast eine normale Nullstelle und eine Komplexe :)

$$ \frac{A(x^2+4)+(Bx+C)(x-3)}{x^3-3x^2+4x-12} $$

Auf diesen Bruch bin ich gekommen, indem ich die Brüche auf einen Nenner gebracht habe :)

Weiter gehts:

$$ \frac{(A+B)x^2+(-3B+C)x+(4A-3C)}{x^3-3x^2+4x-12} $$

Ich habe das mal nach den Potenzen x^2, x^1, x^0 geordnet

Jetzt einfach ablesen und in ein LGS überführen:

A+B=1
-3B+C=3
4A-3C=-5

A=1,B=0,C=3

Einfach einsetzen und fertig

$$ \frac{A}{x-3} + \frac{Bx+C}{x^2+4} $$

$$ \frac{1}{x-3} + \frac{3}{x^2+4} $$

Das wars!

Exkurs:

Komplexe NS:

$$ x^2 + 4 = 0 $$

$$ x^2 = -4 $$

Anwenden der Wurzel nicht möglich

Comments

Du hast eine normale Nullstelle und eine komplexe 

wohl eher zwei komplexe Nullstellen, deren Linearfaktoren zusammengefasst sind

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Richtig! @-Wolfgang-

Answer 2

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

Answer 3

du musst den Nenner in seine Linearfaktoren zerlegen, das geht auch im komplexen.

Der Nenner lautet:

$$ q(x)=(x-3) \cdot (x^2+4)= (x-3)\cdot(x-2i)\cdot (x+2i)$$

Dann lautet die Parzialbruchzerlegung:

$$ \frac{x^2+3x-5}{(x-3)\cdot(x-2i)\cdot (x+2i)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-2i}+\frac{C}{x+2i} \\[20pt]\Leftrightarrow x^2+3x+5=A\cdot(x-2i)\cdot (x+2i)+B\cdot(x-3)\cdot (x+2i)+C\cdot(x-3)\cdot(x-2i)$$

$$ =Ax^2+4A+2iBx-6iB-2iCx+6iC+Bx^2-3Bx+Cx^2-3Cx\\=x^2(A+B+C)+x(2iB-2iC-3B-3C)+(4A-6iB+6iC) $$

Jetzt wird ein Koeffizientenvergleich durchgeführt und damit ein LGS aufgestellt, was zu lösen ist.
$$ 1\cdot x^2+3\cdot x-5 $$

$$ 1=A+B+C\\3=2iB-2iC-3B-3C\\-5=4A-6iB+6iC $$

$$ A=1\\B=-\frac{3i}{4}\\C=\frac{3i}{4} $$

Eingesetzt ergibt das:

$$ \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-2i}+\frac{C}{x+2i}=\frac{1}{x-3}+\frac{-\frac{3i}{4}}{x-2i}+\frac{\frac{3i}{4}}{x+2i}=\underline{\underline{\frac{1}{x-3}+\frac{-3i}{4(x-2i)}+\frac{3i}{4(x+2i)}}} $$