Integral (x + 1)÷(x − 1)2 dx mit Partialbruchzerlegung berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Integral:

(x + 1)÷(x − 1)² dx
mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe ein Problem beim Berechnen des Integrals mit der Partialbruchzerlegung. Ich bin soweit gekommen, dass ich den Term im Nenner (x-1)² mit der binomischen Formel zu x² - 2x -1 vereinfacht habe, dann die Nullstelle x1=1 (x2 gibt es nicht) berechnet habe und anschließend folgenden Term bekommen hab:

x+1/(x-1)*(x-1) = A/(x-1) + B/(x-1)

Dann habe ich den Term mit (x-1)² multipliziert und bekomme folgenden Term:

(x+1) = A*(x-1) + B*(x-1)   vereinfacht: x+1 = x*(A+B) - A - B

Anschließend habe ich mit: 1=(A+B) (folgend aus dem x Teiles des Terms) und 1= - A - B (folgend aus dem Rest des Terms) versucht A und B zu berechnen. Leider habe ich dann A=0 und B=-1 rausbekommen, was leider nicht stimmen kann.

Ich habe trotzdem damit weitergerechnet und am Ende die Stammfunktion:  -⌊ ln |x - 1| + c ⌋    rausbekommen.

Das richtige Ergebnis wäre jedoch:  -2/(x-1) + ln (|x − 1|) + c

Wo war mein Fehler?

Ich bedanke mich bei jeder Hilfe/Antwort.

Comments

(x-1)^2 = x^2-2x+1

Zur Kontrolle + Alternative.

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

(x-1)^2 mit der binomischen Formel zu x^2 - 2x -1 vereinfacht habe, dann die Nullstelle x1=1 (x2 gibt es nicht) berechnet habe

Vereinfacht hast du hier gar nichts. Die doppelte Nullstelle 1 kann man doch sofort ablesen!

A/(x-1) + B/(x-1)

Das ist Quatsch. Bei doppelten Nullstellen bekommt ein Nenner ein hoch 2.

Leider habe ich dann A=0 und B=-1 rausbekommen, was leider nicht stimmen kann.

Tut es auch nicht, weil dein System von Gleichungen unlösbar ist. Addiere beide und du erhältst 2=0.

Lösung: führe die PBZ korrekt durch oder schreibe

 \( \frac{x+1}{(x-1)^2}= \frac {1}{2} \cdot \frac{2(x-1)}{(x-1)^2}+ \frac{2}{(x-1)^2} \)

und stelle fest, dass im ersten Bruch der Zähler die Ableitung des Nenner enthält und man den zweiten Bruch leicht durch Substitution integrieren kann.

Comments

https://www.wolframalpha.com/input?i=partial+fraction+%28x%2B1%29%2F%28x-1%29%5E2