Lineares Gleichungssystem ohne Taschenrechner lösen

Question

folgende Frage wurde dieses Jahr beim Pangea-Wettbewerb in der Zwischenrunde gestellt:

22 Löffel und 32 Gabeln wiegen zusammen 920 g.
42 Löffel und 52 Gabeln wiegen zusammen 1620 g.
Wie viel wiegen 16 Löffel und 21 Gabeln zusammen?

Natürlich weiß ich sehr wohl, wie man ein Gleichungssystem löst, da jedoch kein Taschenrechner zugelassen war, musste die Rechnung klassisch auf Papier erfolgen.

Mir ist ebenso bewusst, dass das prinzipiell möglich ist; bei dieser Aufgabe fand ich allerdings keinen schönen Lösungsweg, der einfach ohne Taschenrechner durchgeführt hätte werden können.

Sowohl beim Gleichsetzungsverfahren, als auch beim Einsetzungsverfahren und dem Additiontsverfahren erhielt ich zwar am  Ende natürliche Werte, die auch richtig waren, jedoch hatte ich immer Zwischenwerte, die zweistellige oder dreistellige Nachkommastellen hatten.

Nun  würde ich gerne wissen, wie diese Aufgabe ohne Taschenrechner gerechnet hätte werden sollen.

Wie würdet ihr da vorgehen?

Comments

Addition liefert: 64 Löffel und 84 Gabeln wiegen zusammen 2540 g. Nun durch vier teilen.

Answer 1

jedoch hatte ich immer Zwischenwerte, die zweistellige oder dreistellige Nachkommastellen hatten.

Verwende Brüche anstatt Dezimalzahlen.

Answer 2

22 Löffel und 32 Gabeln wiegen zusammen 920 g.
42 Löffel und 52 Gabeln wiegen zusammen 1620 g.

22x+32y=920

42x+52y=1620

Bringe beide Gleichungen auf das kgV von 22 und 42 und subtrahiere dann die 2. von der 1.

Oder mach das Ganze mit dem kgV von 32 und 52.

Answer 3

22 x  und 32 y = 920
42 x  und 52 y = 1620

22 x  und 32 y = 920  | / 2
42 x  und 52 y = 1620 | / 2

11 x  und 16 y = 460  | * 21
21 x  und 26 y = 810 | * 11

Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 1.Gleichung
Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

231 x  und 336 y = 9660 
231 x  und 286 y = 8910  | abziehen
--------------------------------
50 y = 750
y = 15

Answer 4

.. ich bin der Meinung, dass man diese Aufgabe mit etwas Übung im Kopfrechnen im Kopf lösen kann!

22 Löffel und 32 Gabeln wiegen zusammen 920 g.
42 Löffel und 52 Gabeln wiegen zusammen 1620 g.
Wie viel wiegen 16 Löffel und 21 Gabeln zusammen?

Es fällt auf, dass die Differenz der Löffel und die Differenz der Gabeln jeweils =20 ist (Ziehe beide Gleichungen von einander ab). Demnach wiegen
20 Löffel und 20 Gabeln zusammen 1620g - 920g = 700g
und
16 Löffel und 16 Gabeln wiegen zusammen 700g mal \(\frac{16}{20} = \frac45 \, \Rightarrow \) 560g.

22 Löffel und 22 Gabeln wiegen 770g

das ziehe ich von der ersten Gleichung ab und erhalte:
10 Gabeln wiegen 920g - 770g = 150g und 5 Gabeln die Hälfte, also wiegen

16 Löffel und 16+5=21 Gabeln 560g + 75g = 635g

... und an welcher Stelle bräuchtest Du hier einen Taschenrechner?

Comments

Eine Alternative:

Addiere beide Gleichungen

64 Löffel und 84 Gabeln wiegen zusammen 2540g

und das ist genau das Vierfache der gesuchten Menge von 16 Löffel und 21 Gabeln, die dann zusammen 2540g/4 = 635g wiegen.

Zugegebenermaßen habe ich das auch nicht gleich gesehen ;-)

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Nach nns Beitrag können alle anderen Wege nur noch zweitklassig sein, meiner ging so :

Subtraktion der beiden Ausgangsgleichungen ergibt 20L + 20G = 700 und Division durch 4 liefert  5L + 5G  =  175
Die Hälfte der ersten Gleichung ist  11L + 16G  =  460  und Addition dieser beiden Zwischenergebnisse führt auf  16L + 21G  =  635.

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Nach nns Beitrag ...

Hups! das hatte ich gar nicht gesehen!

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es ist in jeden Fall nicht effektiv, derartige Aufgabe lösen zu wollen, indem man ausrechnet, was ein Löffel und eine Gabel wiegt!