Das nennt man soweit ich weiß "Extremwertaufgabe". Dosen sind normalerweise Zylinder, weshalb hier folgende Gleichung gilt:$$O(r,h) = 2·π·r·(r+h)$$ Wir können die Formel nach \(h\) umstellen und \(h = \frac{V}{r^2\pi}\) in die Formel einsetzen. Also haben wir nun:$$O(r) = 2·π·r·\left(r+\frac{V}{r^2\pi}\right)$$ Nun bilden wir die erste Ableitung dieser Funktion. Ich erhalte für die erste Ableitung (vereinfacht):$$O'(r)=\dfrac{4{\pi}r^3-2v}{r^2}$$ Das müssen wir jetzt Null setzen und nach \(r\) auflösen. Ich erhalte:$$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$$ Setzen wir dort unser Volumen ein, übrigens entspricht 4l=4000cm^3$$r = \sqrt[3]{\frac{4000cm^3}{2\pi}}≈ 8.603$$ EDIT: Da der Durchmesser gesucht wird einfach:$$d = 2\sqrt[3]{\frac{4000cm^3}{2\pi}}≈ 17.205$$
