Berechnen Sie den Radius r und die Höhe h einer so optimierten Dose.

Question

Aufgabe:

Bei Getränkedosen und anderen Verbrauchsgütern haben die Verpackungskosten eine großen Anteil am Artikelpreis. Die Hersteller sind daher sehr bemüht, nicht nur das Aussehen der Verpackungen zu op-timieren, sondern auch den Materialverbrauch möglichst klein zu halten.

Beispiel: Die optimale Dose
Ein Erfrischungsgetränk wird in zylindrischen Dosen aus Weißblech angeboten. Das Volumen der Dose soll 330 ml betragen. Aus Kostengründen soll der Materialbedarf pro Dose durch eine günstige Formgebung minimiert werden.
Berechnen Sie den Radius r und die Höhe h einer so optimierten Dose.

Problem/Ansatz:

Was muss ich als erstes machen??? Hab kein Plan ,wie ich die Aufgabe lösen soll…

Answer 1

Stelle zunächst eine Formel für das Volumen eines Zylinders auf. Rechne dafür die 330 ml in cm^3, dm^3 oder m^3 um (Nebenbedingung). \(V(r,h)=\dots\)

Stelle dann eine Formel für die Oberfläche eines Zylinders auf. Das wird dann deine Zielfunktion, die es zu minimieren gilt. \(O(r,h)=\dots\)

Forme die Nebenbedingung nach \(r\) oder \(h\) um und setze sie in die Formel für das Volumen ein. Probiere mal aus, welche Variante besser funktioniert.

Wenn du nun die Formel für das Volumen derart vereinfachst, dass du die Ableitung der so enstandenen Zielfunktion bestimmen kannst, musst du nun nur noch den Tiefpunkt bestimmen.

Wenn du damit \(r\) oder \(h\) berechnet hast, kannst du mit Hilfe der Nebenbedingung nun die entsprechend andere Größe bestimmen.

Melde dich, wenn du Schwierigkeiten hast.

Answer 2

V= r^2*p*h = 330, p= pi

h= 330/(r^2*p)

Oberfläche O= 2*r^2*p+ 2r*p*h

O(h) = 2*(r^2*p+330/r

Berechne:

O'(h) = 0

Answer 3

Zielfunktion oder Hauptbedingung:

\(O(r,h) = 2r^2 \pi + 2r\pi \cdot h \) soll minimal werden.

\(V=330 ml=330cm^3\)

Nebenbedingung: \(330=r^2\pi h\)    Auflösen nach   \(h\):

\(h=\frac{330}{r^2\pi}\)     Einsetzen in \(O(r,h)  \):

\(O(r) = 2r^2 \pi + 2r\pi \cdot \frac{330}{r^2\pi} \) kürzen:

\(O(r) = 2r^2 \pi + 2\cdot \frac{330}{r} \)    Auf einen Nenner bringen:

\(O(r) = \frac{2r^3 \pi +660}{r} \)

Differenzieren mit der Quotientenregel:

\( [\frac{Z}{N}]'=\frac{Z'N-ZN'}{N^2} \)

\(O'(r) = \frac{6r^2 \pi \cdot r-2r^3 \pi -660}{r^2} \)

\(\frac{6r^2 \pi \cdot r-2r^3 \pi -660}{r^2}=0|\cdot r^2 \)

\(4r^3\pi =660 \)

\(r^3\pi =165 \) Nun nach r auflösen und dann noch die Höhe bestimmen.