Weglängenfunktion der folgenden Wege berechnen

Question

könnte mir bitte einer hier weiter helfen?

γ₃: [0,1]→ℝ², γ₃(t) := (2 cos(2πt)−cos(4πt),2 sin(2πt)−sin(4πt))
.

Answer 1

um die Weglänge davon zu bestimmen ist dieser Ansatz nötig.
$$ L=\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt $$
Man hat die Funktion
$$ f\Bigg(\begin{pmatrix}x(t)\\y(t) \end{pmatrix}\Bigg):=y_3(t)=\begin{pmatrix} 2\cos(2\pi\cdot t)-\cos(4\pi \cdot t)\\2\sin(2\pi\cdot t)-\sin(4\pi \cdot t) \end{pmatrix} $$
Nun bildet man komponentenweise die Ableitungen und quadriert sie anschleißend.
$$ x'(t)=4\pi(\sin(4\pi\cdot t)-\sin(2\pi \cdot t))\\x'(t)^2=16\pi^2\Big(\sin^2(4\pi \cdot t)+\sin^2(2\pi \cdot t)-2\sin(4\pi \cdot t)\sin(2\pi \cdot t)\Big) $$
$$ y'(t)=4\pi(\cos(2\pi\cdot t)-\cos(4\pi \cdot t))\\y'(t)^2=16\pi^2\Big(\cos^2(2\pi \cdot t)+\cos^2(4\pi \cdot t)-2\cos(4\pi \cdot t)\cos(2\pi \cdot t)\Big) $$

Jetzt geht es nur noch ums Zusammenfassen und Vereinfachen. Der Rest, also die Berechnung der Weglänge, ist dann sehr schnell getan. Los gehts:
$$ x'(t)^2+y'(t)^2=16\pi^2\Big([\sin^2(4\pi \cdot t)+\sin^2(2\pi \cdot t)-2\sin(4\pi \cdot t)\sin(2\pi \cdot t)]+[\cos^2(2\pi \cdot t)+\cos^2(4\pi \cdot t)-2\cos(4\pi \cdot t)\cos(2\pi \cdot t)]\Big)\\\stackrel{(1)}{=}16\pi^2\Big(1+1-2\big(\sin(4\pi \cdot t)\sin(2\pi \cdot t)+\cos(4\pi \cdot t)\cos(2\pi \cdot t)\big) \Big)\\=32\pi^2\Big(1-\big(\sin(4\pi \cdot t)\sin(2\pi \cdot t)+\cos(4\pi \cdot t)\cos(2\pi \cdot t)\big)\Big)\\\stackrel{(2)}{=}32\pi^2\Big(1+\sin(4\pi \cdot t)\sin(-2\pi \cdot t)-\cos(4\pi \cdot t)\cos(-2\pi \cdot t) \Big)\\=32\pi^2\Big(1-\big(\cos(4\pi \cdot t)\cos(-2\pi \cdot t)-\sin(4\pi \cdot t)\sin(-2\pi \cdot t)\big) \Big)\\\stackrel{(3)}{=}32\pi^2\Big(1-\cos(4\pi\cdot t-2\pi\cdot t) \Big)\\=32\pi^2\Big(1-\cos(2\pi\cdot t) \Big)\\=32\pi^2\Big(1-\cos(\pi\cdot t+\pi\cdot t) \Big)\\\stackrel{(3)}{=}32\pi^2\Big(1-\big(\cos(\pi\cdot t)\cos(\pi\cdot t)-\sin(\pi\cdot t)\sin(\pi\cdot t)\big) \Big)\\=32\pi^2\Big(1-\big(\cos^2(\pi\cdot t)-\sin^2(\pi\cdot t)\big) \Big)\\\stackrel{(1)}{=}32\pi^2\Big(1-\big(1-\sin^2(\pi\cdot t)-\sin^2(\pi\cdot t)\big) \Big)\\=32\pi^2\Big(1-\big(1-2\sin^2(\pi\cdot t)\big) \Big)\\=32\pi^2\cdot2\sin^2(\pi\cdot t)\\=64\pi^2\cdot \sin^2(\pi \cdot t) $$
Begründungen:
$$(1)\quad \sin^2(x)+\cos^2(x)=1\\(2)\quad -\sin(x)=\sin(-x)\qquad \cos(x)=\cos(-x)\\(3)\quad \cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y) $$
So fast geschafft. Jetzt nur noch in den Ansatz von oben einsetzen:
$$ L=\int_0^1\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt=\int_0^1\sqrt{64\pi^2\cdot \sin^2(\pi \cdot t) }dt=8\pi\int_0^1{\sin(\pi\cdot t)}dt\\=8\cdot[-\cos(\pi\cdot t)]_0^1=-8\cdot[\cos(\pi\cdot t)]_0^1=-8\cdot\cos(\pi\cdot 1)-(-8\cdot\cos(\pi\cdot 0))=8+8=\underline{\underline{16}} $$