Gleichung mit Logarithmus und einer Variablen auf beiden Seiten auflösen: n = 8log2(n)

Question

Wie muss ich vorgehen bzw. was für Verfahren muss ich anwenden, um die folgende Gleichung nach n aufzulösen?

n = 8 log₂(n)

Answer 1

Vielleicht so:
$$\begin{aligned} n &= 8\log_2(n)\\ n &= \log_2(n^8)\\ 2^n &= n^8\\ \dots&=\dots \end{aligned}$$

Comments

Danke für die Antwort. 2^n = n^8 hatte ich auch probiert. Leider fehlt mir die Kreativität oder das Wissen für den nächsten Schritt. Kannst du mich vielleicht in die Richtung leiten in die ich weitergehen muss?

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Tipp:

Lambertsche W-Funktion

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Ich dachte, dass man aus der dritten Zeile die Lösung vielleicht irgendwie "sieht". Analytisch nach n auflösen lässt sich die Gleichung m.E. nicht.

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"Lambertsche W-Funktion"

Soso ... Wikipedia ist also Dein Freund.

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Danke euch soweit, werde mich da jetzt mal einlesen.

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Für natürliche n besitzt die Gleichung keine Lösung.

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Danke euch soweit, werde mich da jetzt mal einlesen.

Lesen ist sicher gut, aber die Lösung deiner Gleichung

2^{n} = n^{8}

bekommt auch ohne die "Lambertsche W-Funktion" heraus.

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Ich wette meinen linken Zeh darauf, dass du 2^{n} = n^{8} nicht ohne W-Funktion lösen kannst.

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Ich bin leise, da ich nicht weiß was "Natürliche Zahlen" sind

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Racine, meine oben mitgeteilte Ansicht über die Lösbarkeit der Gleichung 2^n=n^8 beruhte auf einem Irrtum meinerseits und ist nicht richtig!

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Ich versuche mal eine Lösung zu finden!

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Du bist doch ein Verfechter des Newton-Verfahrens, kannst du hier ja probieren.

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Ich probiere es einfach mal, falls es falsch ist, wirst du bestimmt selbst wissen:$$2^n=n^8$$$$n\cdot ln(2)=ln(n^8)$$$$n=ln(n^8)\cdot ln(2)^{-1}$$$$n=8\cdot ln(n)\cdot ln(2)^{-1}$$$$\left(\frac{\frac{1}{8}}{ln(2)}\right)n=ln(n)$$ Allgemein gilt nun:$$a\cdot b=ln(b) \quad \text{ist} \quad b=e^{-W(-a)}$$ Wenden wir das auf unser Beispiel an:$$n=e^{-W\left(-\frac{\frac{1}{8}}{ln(2)}\right)}$$ Ich mag das newton-verfahren nicht so.

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Nachtrag:

Es gilt:$$a\cdot b=ln(b) \quad ⇒ b=-\frac{W(-a)}{a}$$ Also demnach anders umstellen