Funktionen mit den Funktionswerten in Laurentsche Reihen entwickeln?

Question

Entwickeln Sie die Funktionen mit den Funktionswerten

a) e^1/(z−1) für |z| > 1,

b) 1/(z − a)(z − b) für 0 < |a| < |z| < |b|,

jeweils in ihre Laurentsche Reihen.

Answer 1

e^{1/(z−1)} für |z| > 1,

Setze 1/(z-1) = (z-1)^{-1} in die Exp-reihe ein: 

$$f(x) = \sum_{j=0}^\infty \frac{(z-1)^{-j}}{j!}$$

1/(z − a)(z − b)

soll wohl sein  1/((z − a)(z − b)) .

Verwende Partialbruchzerlegung

  1/((z − a)(z − b)) =  (a-b)^{-1} / (z-a)  -   (a-b)^{-1} / ( z-b)

und dann die Reihen für    1/(z-a)  bzw. 1 / (z-b)

jeweils mit dem Faktor (a-b)^{-1} davor.