Allgemeine Aussage über Eigenwerte einer normalen Matrix treffen

Question

ich brauch wieder mal Eure Hilfe bei einer Aufgabe, sie lautet: Sei A eine komplexe nxn-Matrix mit Eigenwerten λ_(1) bis λ_(n). Zeige, dass für einen beliebigen Vektor x∈ℂⁿ gilt:

|| Ax || ≤ max_(1≤i≤n) |λ_(i)|*||x||

Ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich da anfangen soll, vor allem weil es sich ja um beliebige Vektoren x handelt und nicht um Eigenvektoren, weil dann könnte man über die Beziehung Ax=λx ja argumentieren. Kann mir bitte jemand helfen und zeigen wie das geht?

LG Mathstiger

Answer 1

Hallo

 schreibe den Vektor x als Linearkombination der Eigenvektoren.

Gruß lul

Comments

Oke erstmal danke für den Tipp:

Ich hab jetzt gestartet: ||Ax|| = || A* LK der Eigenvektoren|| = || Sum(k=0 bis n, c_(k)*A*b_(k)||, da hab ich dann die Definition Ax=λx eingesetzt für passende λ. Nur dann komm ich nicht weiter weil alles unter einer Summe steht und ich nicht weiß wie das Max reinkommt.

LG Mathstiger

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Hallo

du hast doch A*x=∑a_kλ_kx_k, wenn x_k die EV sind

jetzt vergrößere die Summe , indem du alle λ_k durch das maximale ersetzt. und das dann vor die Summe ziehst.

Gruß lul