wie beweise ich | |a|-|b| | ≤ |a+b| . komm da überhaupt nicht drauf

Question

man solle | |a|-|b| | ≤ |a+b| für reelle zahlen beweisen, jedoch komm ich nicht einmal zu einem ansatz.

Answer 1

Darfst du die Dreiecksungleichung \(|a+b|\leq |a|+|b|\) als bekannt voraussetzen?

Wenn ja, könntest du es so machen:

\(|a+b|-|b|\leq |a|+|b|-|b|=|a|\) (Dreiecksungleichung).

Für \(a:=c+d, b:=-d\) ergibt sich \(|c|-|d|\leq |c+d|.\)

Für \(a:=c+d, b:=-d\) ergibt sich \(|d|-|c|=-(|c|-|d|)\leq |c+d|.\)

Aus diesen beiden Ungleichungen folgt: \(\left||c|-|d|\right|\leq|c+d|.\)

Comments

ich darf |a - b|≥|a|-|b| verwenden da ich das vorher beweisen musste...aber ich werds dann einfach darauf anwenden. DANKE(: