Schnittpunkt zweier Tangenten

Question

ich brauche dringen Hilfe bei folgender Aufgabe

Gegeben sei der  Kreis k = x²/10 + y²/10 = 1 und der Schnittpunkt P = (4,2) zweier Tangenten t₁, t₂ an k. Bestimmen Sie die Berührpunkte von  t₁, t₂ an k

Answer 1

Die Berührpunkte mit den Koordinaten  B(x,y) liegen auf dem Kreis und

die Vektoren OB und BP sind aufeinander senkrecht, weil der

Berührradius senkrecht auf der Tangente steht.

OB = ( (x,y)^T   und   BP=( x-4, y-2)^T also

x*(x-4) + y*(y-2) = 0      und   x^2 + y^2 = 10 (Kreisgleichung)

x^2 - 4x + y^2 - 2y = 0  und 
x^2         + y^2        = 10                 subtrahieren:

---------------------------------

           -4x  - 2y  = -10

    ==>      y = 5  -  2x  (auf dieser Geraden liegen die Berührpunkte.)

Schnitt mit dem Kreis gibt

x^2 + (5-2x)^2 = 10  ==>  x=3  oder x=1 .

Also Berührpunkte ( 3 ; -1)    und  (1;3) .

~draw~ ;kreis(0|0 3.16){4F0};punkt(4|2 "P");gerade(0|5 2|1);gerade(4|2 1|3);gerade(4|2 3|-1);zoom(10) ~draw~