Gleichung der Tangenten an den Kreis k, die parallel zu g:3x-5y=0 verläuft.

Question

Ermittle die Gleichungen der Tangenten an den Kreis k, die parallel zur Geraden g sind, und gib die Koordinaten der Berührungspunkte an!

k: (x+2)²+(y-1)²=34; g:3x-5y=0

in der schule haben wir diese Formel verwendet

r²*(k^2+1)=(k*X_M-Y_M+d)²

Präzision gemäss Kommentar: Bei:   t: y=kx+d       
k: Steigung der Tangente, d: y-Achsenabschnitt der Tangente

und als lösung kommt :t1: 3x-5y=23; T1(1/-4); t2: 3x-5y=-45; T2(-5/6)

aber ich weiß es nicht wie sie auf das Ganze gekommen

bitte mit Rechenschritte!

danke!

Comments

Kannst du zu eurer Formel irgendetwas Genaueres sagen?

r dürfte der Radius der Kreises sein. d vielleicht der Durchmesser. Aber was ist denn k2 und k in der Formel?

Das Skalarprodukt von Radius und Richtung der Tangente muss ja Null sein. Und dann muss der Abstand von M stimmen. Ist das eventuell eine Formel, die ihr mit Hilfe der Hesseschen Normalform hergeleitet habt?

k2 gefunden. Das ist bei einer andern Frage k^2.

Du kannst bestimmt den Lösungsweg von

https://www.mathelounge.de/20190/eine-gleichung-der-geraden-die-normal-zur-g

auch hier wieder benutzen. Unterschied: Parallel und senkrecht. Einfach Richtung der Geraden um 90° drehen.

So kommst du ohne diese unklare Formel aus.

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aber im schulübung haben wirs so ausgerechnet

also das ist jetzt ein anderes Beispiel und genau so haben wir in der schule ausgerechnet

k:(x+1)²+(y-5)²=100 ; g:3x-4y=0

1) M(-1/5)

2) r²*(k²+1)=(K*XM-YM+d)²

    t: y=kx+d

    g:3x-4y=0

    y=3/4x

      k: -4/3

3) dann hat sie uns das gegeben:

   r²*(k²+1)=(K*XM-YM+d)²

100*(16/9+9/9) = (-4/3*(-1)-5+d)²

und dann ist das rausgekommen

3d2-22d-793=0

ich hab das dann in die große Formel eingesetzt

d₁=61/3 d2=-39/3

t1=y=-4/3x+61/3 /*3

t1:3y=-4x+61

  t₁:4x+3y=61

t₂:y=-4/3x-39/3 /*3

t₂:3y=-4x-39

t₂:4x+3y=-39

und so schaut das aus

aber mit dem Beispiel  geht es nicht mit diesem Verlauf

 

 

 

 

 

 

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Das war jetzt die fehlende Verbindung:

  t: y=kx+d

Hier kann man ablesen: k: Steigung der Tangente

d: y-Achsenabschnitt der Tangente

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ja stimmt das hab ich vergessen und jetzt hab ich mit dem Beispiel

k: (x+2)²+(y-1)²=34; g:3x-5y=0 gemacht aber da kommt bei mir andere Zahlen raus und es sollte das rauskommen t₁: 3x-5y=23; T₁(1/-4); t₂: 3x-5y=-45; T₂(-5/6)

Answer 1

 

k: (x+2)²+(y-1)²=34; g:3x-5y=0

in der schule haben wir diese Formel verwendet

r²*(k²+1)=(k*X_M-Y_M+d)²

Präzision gemäss Kommentar: Bei:   t: y=kx+d        
k: Steigung der Tangente, d: y-Achsenabschnitt der Tangente

und als lösung kommt :t1: 3x-5y=23; T1(1/-4); t2: 3x-5y=-45; T2(-5/6)

Test: Was sollte gemäss Lösung d sein?

3x - 23 = 5y

3/5 x - 23/5 = y            d= -23/5

 

3x + 45 = 5y

3/5 x + 9 = y               d=9

 

r= √34

g: 3x = 5y. y = 3/5 x 

Also k = 3/5

In die Formel eingesetzt

√34²·((3/5)² + 1) = (3/5·(-2) + d - 1)²

34*(9/25 + 1) = (3/5 (-2) - 1 + d)^2

34*(34/25) = (-6/5  - 1 + d)^2

34*(34/25) = (-11/5  + d)^2

34^2/ 5^2 = (34/5)^2 = (-11/5  + d)^2        |√ Wurzel ziehen

±(34) /5 = -11/5 + d

11/5 ± (34) /5 = d            (= 9 resp. -23/5 wie verlangt.)

 

Comments

aso und wie rechne ich das jetzt aus

können sie es mir zeigen

bitte mit Rechenschritte

und soorry das ich zu viele fragen stelle

 !

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Ich sehe gerade, dass ihr hier in der Schule gar nicht k abgelesen habt. Das wäre nämlich 3/4.

k: - 4/3 steht senkrecht auf g. Vielleicht sollte die Tangente in der Schule aber auch senkrecht auf g stehen. In der Frage hier schreibst du aber parallel!

   y=3/4x

      k: -4/3

3) dann hat sie uns das gegeben:

   r²*(k²+1)=(K*XM-YM+d)²

100*(16/9+9/9) = (-4/3*(-1)-5+d)²

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Versuch es nach der Vorgehensweise von Mathecoach und kontrolliere auf jeden Fall erst mal die Aufgabenstellung. So geht's leider nicht. Und wir verstehen eure Formel gar nicht.

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Ich konnte mir die Formel eben selbst herleiten:

(k·XM - YM + d)^2 = r^2·(k^2 + 1)

Wegen 3x-5y=0 --> y = 3/5*x --> k = 3/5

(3/5·(-2) + d - 1)^2 = √34^2·((3/5)^2 + 1)

d = - 23/5 ∨ d = 9

Also: 

y = kx + d = 3/5*x - 23/5
5y = 3x - 23
3x -5y = 23

y = kx + d = 3/5*x + 9
5y = 3x + 45
3x - 5y = -45

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Danke. jetzt hab ich die √34 auch noch weggebracht!

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1) (3/5·(-2) + d - 1)2 = √34²·((3/5)2 + 1)

     d = - 23/5 ∨ d = 9

2) haben sie das in die große lösungsformel oder in die kleine eingesetzt

3) und wenn kleine oder große

können sie mir den Rechenschritte hinschreiben weil bei mir kommt was anderes raus

4) 34² soll ich da jetzt 34 hoch 2 im Taschenrechner eintippen 

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sorrrryyy 1 und 2 sind eine Frage

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und die zwei punkte fehlen noch T1(1/-4); ; T2(-5/6) als Lösung

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Ich habe oben inzwischen d isoliert, ohne die Formel zu bemühen. 

Jetzt kann man die Geradengleichungen in die Kreisgleichung einsetzen. x und zugehöriges y berechnen. Ich zeig dir mal den Anfang. Aber die Formel für quadratische Gleichungen einsetzen kannst du bestimmt selbst.

 (x+2)²+(y-1)²=34; g:3x-5y=0

3/5 x - 23/5 = y            

 (x+2)²+( 3/5 x - 23/5 -1)²=34

(x+2)²+( 3/5 x - 28/5)²=34

ausmultiplizieren und sortieren.

x^2 + 4x + 4 + 9/25 x^2 - 168/ 25 +28^2 / 25 = 34 …

x=1, y = 3/5 - 23/5 = -20/5 = -4        T1(1|-4)

3/5 x + 9 = y        

 (x+2)²+( 3/5 x + 9 -1)²=34     

(x+2)²+( 3/5 x + 8)²=34   

Quadr. Gleichung. Resultat 

x = -5 , y = 3/5 *(-5) + 9 = 6       T2(-5|6)

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ja aber welche quadratische Gleichung große oder kleiner

also ich hab das jetzt so:(k*Xm-Ym+d)²=r²(k+1)

                                       (3/5*(-2)-1+d)²=34(3/5+1)

                                       (-11+5d/5)²=107/5   /*5

                                       (-11+5d)²=107

                                      121-55d-55d+25d²=107

                                      121-110d+25d²-107=0

                                       25d²-110d-14=0

wie geht's dann weiter!!!!

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Das sollte man mit der abc-Formel lösen können. Wer das nicht kann durch 25 teilen und pq-Formel anwenden.

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ja das hab ich gemacht aber bei mir kommen andere Zahlen raus

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Die angegebenen Resultate stimmen. Unter der Wurzel steht in der Formel übrigens 0.

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Ich habe im übrigen für die Tangentengleichung folgende Formel

y = k·x - k·XM + YM ± r·√(k^2 + 1)

Ich habe sie jetzt noch nicht überprüft. Aber sie ist nicht schwerer zu lernen als die andere und erlaubt gleich die Tangentengleichung aufzustellen ohne erst das d auszurechnen.

Vielleicht kann ja mal jemand die Formel prüfen an ein paar Beispielen.

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Schöne Formel.

mE sind beide Formeln überflüssig. Man kann diese Aufgaben ja später ohne diese Formel lösen. Und: Wer kann sich das merken bis zum Abitur?

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Sie steht ja auch nicht im Tafelwerk drin.

Ich kenne auch momentan keine Formelsammlung in der ich so eine Formel schon mal gesehen habe.

Und wer solche Formeln lernt der verbraucht die Energie fürs Formellernen und nicht für das Verstehen der Tatsachen, die hinter so einer Formel stecken.

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(3/5*(-2)-1+d)^2=34(3/5+1)

                                       ((-11+5d)/5)^2=107/5

Hier stimmt etwas nicht

(3/5*(-2)-1+d)^2=34(3/5+1)

(3/5*(-2) -1+d)^2=34(8/5) 

Aber warum willst du nochmals diese Formel bemühen? Du suchst doch jetzt T1 und T2

Answer 2

Ermittle die Gleichungen der Tangenten an den Kreis k, die parallel zur Geraden g sind, und gib die Koordinaten der Berührungspunkte an!
\(k: (x+2)^2+(y-1)^2=34\);    \(g: 3x-5y=0\)

Die Normale durch \(M(-2|1)\)  zu   \(g: y=\frac{3}{5}x\)   schneidet den Kreis in den beiden Berührpunkten.

\( \frac{y-1}{x+2}=-\frac{5}{3} \)

\( y=-\frac{5}{3}\cdot(x+2)+1 \)

\(k: (x+2)^2+[-\frac{5}{3}\cdot(x+2)+1-1]^2=34\)

\(k: (x+2)^2+[-\frac{5}{3}\cdot(x+2)]^2=34\)

\(x_1=-5\)      \( y(-5)=-\frac{5}{3}\cdot(-5+2)+1 =6\)      \(B_1(-5|6)\)

1.) Tangente \( \frac{y-6}{x+5}=\frac{3}{5}\)

\( y-6=\frac{3}{5}(x+5)=\frac{3}{5}x+3\)

\( y=\frac{3}{5}(x+5)=\frac{3}{5}x+9\)

\(x_2=1\)      \( y(-5)=-\frac{5}{3}\cdot(1+2)+1 =-4\)       \(B_2(1|-4)\)

Analog die 2. Tangente berechnen.

Comments

Noch ein Weg:

\(k(x,y)= (x+2)^2+(y-1)^2-34\)

\(k_x(x,y)= 2(x+2)\)

\(k_y(x,y)= 2(y-1)\)

\(k'(x)=-\frac{k_x(x,y)}{k_y(x,y)}=-\frac{x+2}{y-1}\)

 \(g: y=\frac{3}{5}x\)    mit  \(m=\frac{3}{5}\)

\(\frac{3}{5}=-\frac{x+2}{y-1}\)

\(y=-\frac{5}{3}x-\frac{7}{3}\)

Diese Gerade schneidet den Kreis in den beiden Berührpunkten.

u.s.w.