Ermittle die Gleichungen der Tangenten an den Kreis k, die parallel zur Geraden g sind, und gib die Koordinaten der Berührungspunkte an!
k: (x+2)2+(y-1)2=34; g:3x-5y=0
in der schule haben wir diese Formel verwendet
r2*(k2+1)=(k*XM-YM+d)2
Präzision gemäss Kommentar: Bei: t: y=kx+d k: Steigung der Tangente, d: y-Achsenabschnitt der Tangente
und als lösung kommt :t1: 3x-5y=23; T1(1/-4); t2: 3x-5y=-45; T2(-5/6)
aber ich weiß es nicht wie sie auf das Ganze gekommen
bitte mit Rechenschritte!
danke!
aber im schulübung haben wirs so ausgerechnet
also das ist jetzt ein anderes Beispiel und genau so haben wir in der schule ausgerechnet
k:(x+1)2+(y-5)2=100 ; g:3x-4y=0
1) M(-1/5)
2) r2*(k2+1)=(K*XM-YM+d)2
t: y=kx+d
g:3x-4y=0
y=3/4x
k: -4/3
3) dann hat sie uns das gegeben:
r2*(k2+1)=(K*XM-YM+d)2
100*(16/9+9/9) = (-4/3*(-1)-5+d)2
und dann ist das rausgekommen
3d2-22d-793=0
ich hab das dann in die große Formel eingesetzt
d1=61/3 d2=-39/3
t1=y=-4/3x+61/3 /*3
t1:3y=-4x+61
t1:4x+3y=61
t2:y=-4/3x-39/3 /*3
t2:3y=-4x-39
t2:4x+3y=-39
und so schaut das aus
aber mit dem Beispiel geht es nicht mit diesem Verlauf
Das war jetzt die fehlende Verbindung:
Hier kann man ablesen: k: Steigung der Tangente
d: y-Achsenabschnitt der Tangente
ja stimmt das hab ich vergessen und jetzt hab ich mit dem Beispiel
k: (x+2)2+(y-1)2=34; g:3x-5y=0 gemacht aber da kommt bei mir andere Zahlen raus und es sollte das rauskommen t1: 3x-5y=23; T1(1/-4); t2: 3x-5y=-45; T2(-5/6)
Test: Was sollte gemäss Lösung d sein?
3x - 23 = 5y
3/5 x - 23/5 = y d= -23/5
3x + 45 = 5y
3/5 x + 9 = y d=9
r= √34
g: 3x = 5y. y = 3/5 x
Also k = 3/5
In die Formel eingesetzt
√342·((3/5)2 + 1) = (3/5·(-2) + d - 1)2
34*(9/25 + 1) = (3/5 (-2) - 1 + d)2
34*(34/25) = (-6/5 - 1 + d)2
34*(34/25) = (-11/5 + d)2
342/ 52 = (34/5)2 = (-11/5 + d)2 |√ Wurzel ziehen
±(34) /5 = -11/5 + d
11/5 ± (34) /5 = d (= 9 resp. -23/5 wie verlangt.)
Ich sehe gerade, dass ihr hier in der Schule gar nicht k abgelesen habt. Das wäre nämlich 3/4.
k: - 4/3 steht senkrecht auf g. Vielleicht sollte die Tangente in der Schule aber auch senkrecht auf g stehen. In der Frage hier schreibst du aber parallel!
Ich konnte mir die Formel eben selbst herleiten:
(k·XM - YM + d)2 = r2·(k2 + 1)
Wegen 3x-5y=0 --> y = 3/5*x --> k = 3/5
(3/5·(-2) + d - 1)2 = √342·((3/5)2 + 1)
d = - 23/5 ∨ d = 9
Also:
y = kx + d = 3/5*x - 23/5 5y = 3x - 23 3x -5y = 23
y = kx + d = 3/5*x + 9 5y = 3x + 45 3x - 5y = -45
1) (3/5·(-2) + d - 1)2 = √342·((3/5)2 + 1)
2) haben sie das in die große lösungsformel oder in die kleine eingesetzt
3) und wenn kleine oder große
können sie mir den Rechenschritte hinschreiben weil bei mir kommt was anderes raus
4) 342 soll ich da jetzt 34 hoch 2 im Taschenrechner eintippen
Ich habe oben inzwischen d isoliert, ohne die Formel zu bemühen.
Jetzt kann man die Geradengleichungen in die Kreisgleichung einsetzen. x und zugehöriges y berechnen. Ich zeig dir mal den Anfang. Aber die Formel für quadratische Gleichungen einsetzen kannst du bestimmt selbst.
(x+2)2+(y-1)2=34; g:3x-5y=0
3/5 x - 23/5 = y
(x+2)2+( 3/5 x - 23/5 -1)2=34
(x+2)2+( 3/5 x - 28/5)2=34
ausmultiplizieren und sortieren.
x2 + 4x + 4 + 9/25 x2 - 168/ 25 +282 / 25 = 34 …
x=1, y = 3/5 - 23/5 = -20/5 = -4 T1(1|-4)
3/5 x + 9 = y
(x+2)2+( 3/5 x + 9 -1)2=34
(x+2)2+( 3/5 x + 8)2=34
Quadr. Gleichung. Resultat
x = -5 , y = 3/5 *(-5) + 9 = 6 T2(-5|6)
ja aber welche quadratische Gleichung große oder kleiner
also ich hab das jetzt so:(k*Xm-Ym+d)2=r2(k+1)
(3/5*(-2)-1+d)2=34(3/5+1)
(-11+5d/5)2=107/5 /*5
(-11+5d)2=107
121-55d-55d+25d2=107
121-110d+25d2-107=0
25d2-110d-14=0
wie geht's dann weiter!!!!
Ich habe im übrigen für die Tangentengleichung folgende Formel
y = k·x - k·XM + YM ± r·√(k2 + 1)
Ich habe sie jetzt noch nicht überprüft. Aber sie ist nicht schwerer zu lernen als die andere und erlaubt gleich die Tangentengleichung aufzustellen ohne erst das d auszurechnen.
Vielleicht kann ja mal jemand die Formel prüfen an ein paar Beispielen.
((-11+5d)/5)2=107/5
Hier stimmt etwas nicht
(3/5*(-2) -1+d)2=34(8/5)
Aber warum willst du nochmals diese Formel bemühen? Du suchst doch jetzt T1 und T2
Ermittle die Gleichungen der Tangenten an den Kreis k, die parallel zur Geraden g sind, und gib die Koordinaten der Berührungspunkte an!k : (x+2)2+(y−1)2=34k: (x+2)^2+(y-1)^2=34k : (x+2)2+(y−1)2=34; g : 3x−5y=0g: 3x-5y=0g : 3x−5y=0
Die Normale durch M(−2∣1)M(-2|1)M(−2∣1) zu g : y=35xg: y=\frac{3}{5}xg : y=53x schneidet den Kreis in den beiden Berührpunkten.
y−1x+2=−53 \frac{y-1}{x+2}=-\frac{5}{3} x+2y−1=−35
y=−53⋅(x+2)+1 y=-\frac{5}{3}\cdot(x+2)+1 y=−35⋅(x+2)+1
k : (x+2)2+[−53⋅(x+2)+1−1]2=34k: (x+2)^2+[-\frac{5}{3}\cdot(x+2)+1-1]^2=34k : (x+2)2+[−35⋅(x+2)+1−1]2=34
k : (x+2)2+[−53⋅(x+2)]2=34k: (x+2)^2+[-\frac{5}{3}\cdot(x+2)]^2=34k : (x+2)2+[−35⋅(x+2)]2=34
x1=−5x_1=-5x1=−5 y(−5)=−53⋅(−5+2)+1=6 y(-5)=-\frac{5}{3}\cdot(-5+2)+1 =6y(−5)=−35⋅(−5+2)+1=6 B1(−5∣6)B_1(-5|6)B1(−5∣6)
1.) Tangente y−6x+5=35 \frac{y-6}{x+5}=\frac{3}{5}x+5y−6=53
y−6=35(x+5)=35x+3 y-6=\frac{3}{5}(x+5)=\frac{3}{5}x+3y−6=53(x+5)=53x+3
y=35(x+5)=35x+9 y=\frac{3}{5}(x+5)=\frac{3}{5}x+9y=53(x+5)=53x+9
x2=1x_2=1x2=1 y(−5)=−53⋅(1+2)+1=−4 y(-5)=-\frac{5}{3}\cdot(1+2)+1 =-4y(−5)=−35⋅(1+2)+1=−4 B2(1∣−4)B_2(1|-4)B2(1∣−4)
Analog die 2. Tangente berechnen.
Noch ein Weg:
k(x,y)=(x+2)2+(y−1)2−34k(x,y)= (x+2)^2+(y-1)^2-34k(x,y)=(x+2)2+(y−1)2−34
kx(x,y)=2(x+2)k_x(x,y)= 2(x+2)kx(x,y)=2(x+2)
ky(x,y)=2(y−1)k_y(x,y)= 2(y-1)ky(x,y)=2(y−1)
k′(x)=−kx(x,y)ky(x,y)=−x+2y−1k'(x)=-\frac{k_x(x,y)}{k_y(x,y)}=-\frac{x+2}{y-1}k′(x)=−ky(x,y)kx(x,y)=−y−1x+2
g : y=35xg: y=\frac{3}{5}xg : y=53x mit m=35m=\frac{3}{5}m=53
35=−x+2y−1\frac{3}{5}=-\frac{x+2}{y-1}53=−y−1x+2
y=−53x−73y=-\frac{5}{3}x-\frac{7}{3}y=−35x−37
Diese Gerade schneidet den Kreis in den beiden Berührpunkten.
u.s.w.
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