Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Tangenten.

Question

Aufgabe:

An den Graphen von f mit f(x) = (1/4)^x sollen an den Stellen 1 und -2 die Tangenten gelegt werden. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Tangenten.

Problem/Ansatz:

Ich würde zuerst die 1. Ableitung bilden

f'(x) = ln(1/4)*(1/4)^x

Jetzt habe ich f'(1) und f(-2) berechnet.

f'(1) = -0,35, f'(-2) = -22.18

Nur jetzt weiß gerade nicht, wie ich die Tangente aufstelle.

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Habe als Schnittpunkt S(1,35/1,07) raus.

Answer 1

$$f(x) = (1/4)^x $$$$ln(f(x))=-ln(4)x$$$$f(x)=e^{-ln(4)x}$$$$f'(x)=-ln(4)*(1/4)^x$$$$f(1) = 1/4 $$$$f'(1)=-ln(4)*(1/4)≈-0,34657$$$$f(-2) = 16$$$$f'(-2)=-ln(4)*(1/4)≈-22,1808$$$$g(x)≈-28,3616-22,1808x$$$$h(x)≈0,5966-0,3466x$$$$-28,3616-22,1808x≈0,5966-0,3466x$$$$(0,3466-22,1808)x≈28,3616+0,5966$$$$x≈-1,326$$$$y≈1,056$$

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Für die eine Tangente habe ich h(x) = -0,35x+0,6

Und für den y-Wert 1,06

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Oh, danke, ich habe da x und y vertauscht und werde es überarbeiten.

Answer 2

Hallo Repp,

Nur jetzt weiß gerade nicht, wie ich die Tangente aufstelle.

Die Punkt-Steigungs-Form für eine Gerade wäre doch hier die richtige Wahl. Eine Tangente \(t(x)\) im Punkt \(x_0\) an eine Funktion \(f(x)\) ist dann beschrieben als $$t(x) = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$$Somit ist in Deinem Fall$$t_{(1)}(x) = -\frac 14 \ln(4) (x-1) + \frac14 \\ t_{(-2)}(x) = -16 \ln(4)(x+2)+16$$Das sieht so aus:

~plot~ (1/4)^x;{1|1/4};{-2|16};-ln(4)*(x-1)/4+1/4;-16*ln(4)*(x+2)+16;[[-3|4|-2|20]] ~plot~

Habe als Schnittpunkt S(1,35/1,07) raus.

Wenn Du bei der X-Koordinate noch ein Minuszeichen spendierst, sieht es gut aus! $$x = \frac 1{\ln(4)} - \frac{43}{21} \approx -1,33, \quad y = \frac{16}{21} \ln(4) \approx 1,06$$Tipp: nicht zu früh runden

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Hatte einen falschen Wert, weil ich 21,38 statt 21,83 hatte.. hatte da einen Zahlendreher, habe die gleichen Werte.

Danke

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weil ich 21,38 statt 21,83 hatte.. hatte da einen Zahlendreher

Ja - deshalb rechne ich gerne mit ganzen Zahlen ;-)

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Gratulation, mir fehlte scheinbar die nötige Ruhe.