Kosten berechnen und Funktion aufstellen

Question

Aufgabe: Gegeben ist folgende Produktionsfunktion: x(r)=wurzel(4r-100) -10  (x:output, r:input)

jeder input kostet 8€, des Weiteren ist der Verkaufspreis für jedes Stück 100€.

a)50 Stück werden produziert und verkauft. Berechne die Gesamtkosten.

c) Stelle die Kostenfunktion auf C(x) auf.

d)Wie viel Output muss verkauft werden um Profit zu machen.

Problem/Ansatz:

Die lösung hab ich bereits für alle 3, jedoch ohne lösungsweg und ich versteh leider nicht wie ich auf die Ergebnisse komme.

a)7400€

c) C(x)=2x^2+40x+400

d)Mehr als 10 aber weniger als 20.

Answer 1

Hallo,

x = Output

r = Input

Kosten pro Input = 8

Erlös pro Stück = 100

a) 50 Stück werden produziert und verkauft. Berechne die Gesamtkosten.

Setze x = 50 in die Produktionsfunktion ein, löse nach r auf und multipliziere das Ergebnis mit 8.

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$$50=\sqrt{4r-100}-10\\60=\sqrt{4r-100}\\3600=4r-100\\3700=4r\\r=925\\925\cdot8=7400$$

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c) Stelle die Kostenfunktion auf C(x) auf.

Bilde die Umkehrfunktion von x(r) und multipliziere das Ergebnis mit den Inputkosten

[spoiler]

$$x=\sqrt{4r-100}-10\\\\x+10=\sqrt{4r-100}\\ x^2+20x+100=4r-100\\x^2+20x+200=4r\\\frac{1}{4}x^2+5x+50=r\\\text{multipliziert mit den Inputkosten von 8 Euro ergibt sich daraus}\\ C(x)=2x^2+40x+400$$

[/spoiler]

d)Wie viel Output muss verkauft werden um Profit zu machen

Bilde die Gewinnfunktion: E(x) - C(x), mit E(x) = 100x

und berechne ihre Nullstellen.

Gruß, Silvia