Aloha :)
Die Kostenfunktion \(€(k,\ell)\) soll unter einer konstanten Nebenbedingung \(F(k,\ell)\) optimiert werden:$$€(k,\ell)=23k+11\ell\to\text{Minimum}\quad;\quad F(k,\ell)=k\ell\stackrel!=300$$
Wenn keine Nebenbedingung angegeben wäre, würdest du einfach den Gradienten von \(€(k,\ell)\) gleich Null setzen, um die kritischen Punkte zu ermitteln. Wenn konstante Nebenbedingungen angegeben sind, muss nach Lagrange der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gardienten aller Nebenbedingungen sein:$$\operatorname{grad}€(k,\ell)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(k,\ell)\implies\binom{23}{11}=\lambda\cdot\binom{\ell}{k}$$
Da der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) nicht Null sein darf (sonst hätten wir die Nebenbedingung ignoriert), können wir die Gleichung für die 1-te Koordinate durch die Gleichung der 2-ten Koordiante dividieren:$$\frac{23}{11}=\frac{\lambda\cdot\ell}{\lambda\cdot k}=\frac{\ell}{k}\implies\pink{\ell=\frac{23}{11}\,k}$$
Die pinke Lagrange-Bedingung kannst du nun in die Nebenbedingung einsetzen:$$300=k\pink\ell=k\,\pink{\frac{23}{11}\,k}=\frac{23}{11}k^2\implies k=\pm\sqrt{\frac{3300}{23}}\approx11,9782$$
Diesen Wert für \(k\) setzt du noch in die Lagrange-Bedingung ein:$$\ell=\frac{23}{11}\cdot11,9782\approx25,0454$$und erhältst dann als optimale Lösung:$$k\approx11,9782\quad;\quad\ell\approx25,0454\quad\implies\quad €_{\text{min}}=551,00\quad\text{(gerundet auf Cent)}$$
