Aloha :)
Deine ersten Überlegungen stimmen. Es soll die Funktion \(f(x;y)\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(g(x;y)\) optimiert werden:$$f(x;y)=73x+84y\quad;\quad g(x;y)=17x^2+67xy+17y^2\stackrel!=5786$$
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da hier nur eine Nebenbedingung vorliegt heißt das:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\quad\implies\quad\binom{73}{84}=\lambda\binom{34x+67y}{34y+67x}$$Wegen des Lagrange Multiplikators \(\lambda\ne0\) sind die beiden Gradienten parallel oder antiparallel zueinander gerichtet, d.h. sie spannen keine Fläche auf, sodass ihre Determinante null wird:
$$0=\left|\begin{array}{rr}73 & 34x+67y\\84 & 34y+67x\end{array}\right|=(2482y+4891x)-(2856x+5628y)=2035x-3146y$$$$\implies3146y=2035x\implies y=\frac{2035}{3146}x\implies \underline{\underline{y=\frac{185}{286}x}}$$
Damit ist das Optimierungsproblem gelöst. Zur Bestimmung der Werte setzen wir die soeben gefundene Beziehung in die Nebenbedingung ein:
$$5786=g\left(x;\frac{185}{286}x\right)=\frac{5\,517\,327}{81\,796}x^2\implies x^2=\frac{81\,796\cdot5786}{5\,517\,327}=85,77915646$$$$\implies x=9,261704\implies y=5,990962\implies \boxed{f_\text{min}=1179,35}$$
