Parabel und Zwei Punkte und Gerade

Question

Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?

Gegben sei für ein a>0 eine Parabel p in Standardform durch {(x,y)∈ℝ²  : x = at², y = 2at, t ∈ ℝ} sowie zwei verschiedene Punkte P,Q ∈ p mit den Parametern t_1, t_2 ≠ 0 (d.h. P, Q liegen nicht im Koordinatenursprung). Zeigen Sie, falls t₁ = 2 und die Gerade durch P,Q orthogonal zu den Geraden duch O, P (mit O = (0,0)) ist, so ist t₂ = -4

Answer 1

Gegeben ist ja  P(4a ; 4a) und Q ( at^2 ; 2at )  (Ich nehme malt t statt t2 .)

Dann hat  PO die Steigung 1, also PQ die Steigung -1 .

Und für die Steigung von PQ gilt gemäß (y2-y1)/(x2-x1) = (4a-2at)/(4a-at^2)  = -1

also 0 = at^2 + 2at - 8a    und wegen a>0 also

        0=t^2 - 2t - 8   also t=-4 oder t=2,

Da P≠Q sein soll, also  t=-4  .    q.e.d.