Question

Bei der Serienproduktion von 10.000 Mikroprozessoren entstehen 2% fehlerhafte Prozessoren. Dem Fertigungslos wird eine Stichprobe des Umfangs n = 250 entnommen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 10 fehlerhafte Prozessoren zu finden?

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Was ist denn der Stoffzusammenhang und welche Hilfsmittel stehen zur Verfügung?

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der Stoff ist Wahrscheinlichkeitsrechnung und Hilfsmittel  ist TR

Answer 1

Das ist die kumulative Binomialverteilung:$$P(X≥10)=\sum_{k=10}^{250}{\begin{pmatrix} 250 \\ k\end{pmatrix}}\cdot 0.02^k\cdot (1-0.02)^{250-k}$$$$P(X≥10)\approx 0.030375$$ Das kann mein Taschenrechner schon nicht mehr. Vielleicht kannst du auch als gute Approximation den zentralen Grenzwertsatz verwenden.

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Muss es nicht "kumulierte" Binomialverteilung heißen?

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kumulativ → [sich] aufhäufend

kumulieren ---> anhäufen

Hier scheint es wohl nicht wichtig zu sein.

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Mein TR kann das auch nicht ( Casio fx-991DE X) wie gehe ich dann anders vor?

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Zentralen Grenzwertsatz anwenden.

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Wie wendet man den Zentralen Grenzwertsatz an?

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https://www.youtube.com/watch?v=rBjft49MAO8&index=20&list=PL8dPuuaLjXtNM_Y-bUAhblSAdWRnmBUcr

Ab 2:40min, damit du verstehst, was das ist.

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Danke. Also ist deine Lösung 0,030375 richtig?

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Mein TR kann das auch nicht ( Casio fx-991DE X) wie gehe ich dann anders vor?

Nun, zumindest kennt er die "Kumulative Binomial-Verteilung" (Handbuch), sie heißt auf dem Rechner (Kumul. Binom.-V) oder so ähnlich und ist über das Verteilungsmenü erreichbar. Es können die Parameter k, n und p angegeben werden.

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Wie gesagt, dass wäre die genaue Lösung. Du kannst aber, falls dein TR das nicht mehr schafft, folgende Näherungsformel verwenden:$$P(X≥x)\approx \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$

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Wenn ich das über die Kumul. Binom.-V Funktion des CASIO fx-991DEX eingebe, bekomme ich folgendes ergebnis:

K=10

n=250

p= 0,02

= 0,9872

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Stimmt, wir haben denselben Taschenrechner. Ich weiß auch nicht wie größer gleich 10 eingibt.

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Es ist
$$P(X\ge10) = 1-P(X\le 9) $$Die Werte sind immer von links kumuliert.

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Nun klappts.

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@Deak88

Gib einfach, da wo bei dir "k" steht die 9 ein und ziehe das, was daraus kommt einfach von 1 ab.

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Hab ich grad probiert. Jetzt habe ich das gleiche Ergebnis raus wie du. Jedoch verstehe ich das nicht richtig, warum ich jetzt 9 anstatt 10 schreiben muss.

Gibt es einen Taschenrechner, der Leistungsstärker ist und das das in einer Formel berechnen kann?

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Kennst du WolframAlpha?

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Ja die Seite kenne ich, jedoch dürfen wir das nicht in der Klausuren nutzen.

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Gibt es einen Taschenrechner, der leistungsstärker ist und das in einer Formel berechnen kann?

Es gibt Taschenrechner, die unmittelbar Intervallwahrscheinlichkeiten binomialverteilter Zufallsgrößen berechnen können, etwa der TI nspire CX.

Der Casio fx-991DE X kann das offenbar nicht, obwohl Casio ihm diese Fähigkeit zumindest bei der Normalverteilung mitgegeben hat. Verwende also die Normalverteilung als Näherung, oder benutze die Umformung
$$P(a\le X \le b) = P(X\le b) - P(X\le a-1).$$

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Der Nspire cx ist aber sehr kompliziert.

Weißt du ob der Casio fx-cg50 das auch kann ?

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Ja, das ist er.

Aber die beschriebene Umrechnung wird auch mit dem Casio fx-991DE X funktionieren.

Den Casio fx-cg50 kenne ich nicht, ich vermute aber, er kann das auch.

Wichtig ist auch, welche TR zur Prüfung zugelassen sind.

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Alle TR sind zur Prüfung zugelassen, deshalb überlege ich mir einen Grafikfähigen zu kaufen.