Lösung von Anfangswertproblemen

Question

Bestimmen Sie jeweils eine Lösung zu folgenden Anfangswertproblemen:

a) y'(t) = sin(t−y(t))², y(0) = 0; 
b) 2ty(t)y'(t) = t² + 3y(t)², y(1) = 0; 
c) y(t)³ −t² + ty(t)²y0(t) = 0 für y(1) = 1.

Answer 1

zu b)

2ty(t)y'(t) = t^2 + 3y(t)^2, y(1) = 0;

teile durch 2 ty

y'(t) = t^2/(2ty) + (3y(t)^2)/(2ty(t))

y'(t) = t/(2y) + (3y)/(2t)

Substituiere z=y/t

y= z*t

y '= z' t +z

->Einsetzen in die Aufgabe:

z ' t +z= 1/(2z) +(3z)/2

(2z) dz/ (1+z^2)= dt/t

ln(z^2+1) =ln|t| +C

z = ±√(C₁*t -1)

Resubstitution:

z=y/t= ±√(C1*t -1)

y=±t√(C₁*t -1)

AWB in die Lösung eingesetzt:

C₁=1

----->

Lösung:

y=± t√(t -1)

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Lösung a) y(t) = t - tan^{-1}(t) Substitution: z=t-y

c) Wie lautet die genaue Aufgabe? Wo ist y' ?? Was bedeutet y0(t) ?