Beweisen sie dass rg(A*B) ungleich 0

Question

Hallo
ich scheitere momentan an einem Beweis für das Matheblatt welches ich abgeben muss. Die Aufgabe lautet :

Es seien A,B∈R nxn, n∈N.
Wir nehmen an, dass rg(A)=n gilt. Außerdem sei det(B)=0.

Beweisen Sie, dass dann
rg(A·B) ungleich n gelten muss.

vielen Dank für die Hilfe

Comments

Beweisen Sie, dass dann
rg(A·B) ungleich n gelten muss.

oder wie in der Überschrift

Beweisen Sie, dass dann
rg(A·B) ungleich 0 gelten muss.

?

Answer 1

Betrachte die zu den Matrizen gehörenden Endomorphismen von R^n nach R^n.

Wegen det(B)=0 ist Bild(B) eine echte Teilmenge von R^n, also dim(Bild(g)) < n

Und fog (R^n) = f ( g(R^n)) ) =  f( Bild(g) ) .

Und wegen rang f = n ist f bijektiv, also  hat    f( Bild(g) ) die

gleiche Dimension wie Bild(g) und die ist kleiner als n.

Also rang(A*B) < n.