Prüfen ob die Matrizen ähnlich sind

Question

Ich habe die Matrizen A =( (0,-1,-1,0),(1,2,1,0),(0,0,1,0),(0,0,0,2)) und B=((2,0,0,0),(0,0,1,0),(0,-1,1,1),(0,-1,0,2)) und soll überprüfen ob sie ähnlich sind.

Ich habe nun die Eigenwerte von A berechnet, die bei x_1,2,3=1 und X₄=2 liegen. Außerdem habe ich die Eigenvektoren für A berechnet und erhalte für x=1 (-1,1,0,0) und (-1,0,1,0) und für x=2 (0,0,0,1).

Da ich jetzt ja nur 3 Vektoren habe bekomme ich doch keine 4x4 Matrix. Muss ich dann einfach noch einen linear unabhängigen Vektor bestimmen um S zu bekommen? Oder kann ich draus schon schließen, dass die Matrizen nicht ähnlich sind?

Ich habe versucht noch den Vektor (1,0,0,0) zu den Eigenvektoren hinzuzufügen, dann erhalte ich aber mit S^-1*A*S ≠B. Kann mir jemand weiterhelfen?

Comments

Es wird nicht verlangt, eine Aehnlichkeitstransformation (soweit existent) explizit anzugeben. Nenne doch mal Kriterien dafuer, dass zwei Matrizen aehnlich sind.

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Ich habe so eine ähniche Aufgabe nur mit anderen Zahlen. Hätte es jetzt aber gleich gemacht.

Sonst muss ich doch alle Eigenschaften durchprüfen oder? Also die folgenden:

    die gleichen Eigenwerte (aber nicht notwendigerweise die gleichen Eigenvektoren),
    die gleiche Determinante und
    die gleiche Spur.
    den gleichen Rang,
    das gleiche Minimalpolynom und
    die gleiche jordansche Normalform.

Oder reicht es wenn eines erfüllt ist?

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Notwendig und hinreichend ist nur "die gleiche jordansche Normalform". Und die kann man bei der Aufgabe leicht angeben. Es reicht hier, die Eigenwerte und die Dimensionen der Eigenraeume zu bestimmen. Aus dem, was da oben schon steht, folgt (wenn richtig gerechnet wurde)

$$J_A=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}.$$

(Es fehlt in Deiner Liste uebrigens "das gleiche charakteristische Polynom".)

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Ah ok super danke und dann muss ich das gleiche dann auch noch bei B machen oder? Und dann schauen ob das gleiche herauskommt?

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Was sonst?

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