Differenzierbarkeit zeigen

Question

Hallo :)

Ich habe die Funktion f:ℝ→ℝ²    f : ( xy² /( x²+y²) für (x,y) ≠0   und 0 für (x,y) =0

wie zeige ich, dass die Funktion in (0,0) nicht differenzierbar ist?

Ich habe es schon mit der allgemeinen Definition versucht ( f(x +h)+ Th +r(h)  lim r(h)/IIhII=0)  es aber nicht hin bekommen.

würde mich sehr über Hilfe freuen... :)

Answer 1

Idee: Angenommen $f$ wäre differenzierbar in $(0, 0)$. Dann gäbe es eine entsprechende lineare Abbildung $\text{D}f(0, 0)$. Durch Kenntnis der partiellen Ableitungen ist $\text{D}f(0, 0)$ eindeutig bestimmt. Berechne also die partiellen Ableitungen. Führe die so erhaltene Ableitung zu einem Widerspruch, indem du eine geeignete Richtungsableitung, beispielsweise in Richtung $v = (0, 0)$, betrachtest.

Angenommen die Funktion $f : \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, \quad (x, y)\mapsto\begin{cases}\frac{x\cdot y^2}{x^2+y^2}, & \text{wenn} \left(x, y\right)\ne\left(0, 0\right) \\ 0, & \text{wenn} \left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\end{cases}$ wäre differenzierbar in $\left(0, 0\right)$.

Für die partiellen Ableitungen gilt:\[\partial_xf(0, 0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h, 0)-f(0, 0)}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{0-0}{h} = 0\] \[\partial_yf(0, 0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(0, 0+h)-f(0, 0)}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{0-0}{h} = 0\]

Demnach müsste also \[\text{D}f(0, 0) : \mathbb{R}²\to\mathbb{R}\] die Nullabbildung sein.

Für die Richtungsableitung von $f$ in $(0, 0)$ in Richtung $v = (1, 1)$ erhält man:

\[\partial_v f(0, 0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h\cdot 1, 0+h\cdot 1)-\overbrace{f(0, 0)}⁼⁰}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{f(h, h)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\quad\frac{h\cdot h²}{h²+h²}\quad}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

Jedoch müsste andererseits auch $\partial_v f(0, 0) = \text{D}f(0, 0)v \stackrel{(*)}{=} 0\ne \frac{1}{2}$ sein. [Bei $(*)$ ist eingegangen, dass $\text{D}f(0, 0)$ die Nullabbildung wäre, wie zuvor hergeleitet wurde.]

Aufgrund dieses Widerspruches ist die Annahme, $f$ wäre differenzierbar in $(0, 0)$, falsch gewesen. $f$ ist nicht differenzierbar in $(0, 0)$.