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Hallo :)

Ich habe die Funktion f:ℝ→ℝ2    f : ( xy2 /( x2+y2) für (x,y) ≠0   und 0 für (x,y) =0

wie zeige ich, dass die Funktion in (0,0) nicht differenzierbar ist?

Ich habe es schon mit der allgemeinen Definition versucht ( f(x +h)+ Th +r(h)  lim r(h)/IIhII=0)  es aber nicht hin bekommen.


würde mich sehr über Hilfe freuen... :)

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Idee: Angenommen ff wäre differenzierbar in (0,0)(0, 0). Dann gäbe es eine entsprechende lineare Abbildung Df(0,0)\text{D}f(0, 0). Durch Kenntnis der partiellen Ableitungen ist Df(0,0)\text{D}f(0, 0) eindeutig bestimmt. Berechne also die partiellen Ableitungen. Führe die so erhaltene Ableitung zu einem Widerspruch, indem du eine geeignete Richtungsableitung, beispielsweise in Richtung v=(0,0)v = (0, 0), betrachtest.

Angenommen die Funktion f : R2R,(x,y){xy2x2+y2,wenn(x,y)(0,0)0,wenn(x,y)=(0,0)f : \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, \quad (x, y)\mapsto\begin{cases}\frac{x\cdot y^2}{x^2+y^2}, & \text{wenn} \left(x, y\right)\ne\left(0, 0\right) \\ 0, & \text{wenn} \left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\end{cases} wäre differenzierbar in (0,0)\left(0, 0\right).

Für die partiellen Ableitungen gilt:\[\partialxf(0, 0) = \limh\to 0 \frac{f(0+h, 0)-f(0, 0)}{h}= \limh\to 0 \frac{0-0}{h} = 0\] \[\partialyf(0, 0) = \limh\to 0 \frac{f(0, 0+h)-f(0, 0)}{h}= \limh\to 0 \frac{0-0}{h} = 0\]

Demnach müsste also \[\text{D}f(0, 0) : \mathbb{R}2\to\mathbb{R}\] die Nullabbildung sein.

Für die Richtungsableitung von ff in (0,0)(0, 0) in Richtung v=(1,1)v = (1, 1) erhält man:

\[\partial_v f(0, 0) = \limh\to 0 \frac{f(0+h\cdot 1, 0+h\cdot 1)-\overbrace{f(0, 0)}=0}{h} = \limh\to 0 \frac{f(h, h)}{h} = \limh\to 0 \frac{\quad\frac{h\cdot h2}{h2+h2}\quad}{h} = \limh\to 0 \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

Jedoch müsste andererseits auch vf(0,0)=Df(0,0)v=()012\partial_v f(0, 0) = \text{D}f(0, 0)v \stackrel{(*)}{=} 0\ne \frac{1}{2} sein. [Bei ()(*) ist eingegangen, dass Df(0,0)\text{D}f(0, 0) die Nullabbildung wäre, wie zuvor hergeleitet wurde.]

Aufgrund dieses Widerspruches ist die Annahme, ff wäre differenzierbar in (0,0)(0, 0), falsch gewesen. ff ist nicht differenzierbar in (0,0)(0, 0).

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