Angenommen die Funktion f : R2→R,(x,y)↦{x2+y2x⋅y2,0,wenn(x,y)=(0,0)wenn(x,y)=(0,0) wäre differenzierbar in (0,0).
Für die partiellen Ableitungen gilt:\[\partialxf(0, 0) = \limh\to 0 \frac{f(0+h, 0)-f(0, 0)}{h}= \limh\to 0 \frac{0-0}{h} = 0\] \[\partialyf(0, 0) = \limh\to 0 \frac{f(0, 0+h)-f(0, 0)}{h}= \limh\to 0 \frac{0-0}{h} = 0\]
Demnach müsste also \[\text{D}f(0, 0) : \mathbb{R}2\to\mathbb{R}\] die Nullabbildung sein.
Für die Richtungsableitung von f in (0,0) in Richtung v=(1,1) erhält man:
\[\partial_v f(0, 0) = \limh\to 0 \frac{f(0+h\cdot 1, 0+h\cdot 1)-\overbrace{f(0, 0)}=0}{h} = \limh\to 0 \frac{f(h, h)}{h} = \limh\to 0 \frac{\quad\frac{h\cdot h2}{h2+h2}\quad}{h} = \limh\to 0 \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
Jedoch müsste andererseits auch ∂vf(0,0)=Df(0,0)v=(∗)0=21 sein. [Bei (∗) ist eingegangen, dass Df(0,0) die Nullabbildung wäre, wie zuvor hergeleitet wurde.]
Aufgrund dieses Widerspruches ist die Annahme, f wäre differenzierbar in (0,0), falsch gewesen. f ist nicht differenzierbar in (0,0).