Differenzierbarkeit im Punkt x=0 zeigen

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die Funktion x^2*sin(1/x), für x ungleich Null, 0, für x=0, im Punkt x=0 differenzierbar ist.

Mein Ansatz:

Wir bilden den Grenzwert für \( x \rightarrow \) a mit \( a=0 \) :
\( \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right)-0}{x} \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right)}{x} \). Der GW kann nicht gebildet werden, daher wenden wir den Satz von L'hôpital an:
\( =\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2 x \sin \left(\frac{1}{x}\right)-x^{2} \frac{1}{x^{2}} \cos \left(\frac{1}{x}\right)}{1}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} 2 x \sin \left(\frac{1}{x}\right)-\cos \left(\frac{1}{x}\right) \)

Jetzt komme ich nicht weiter. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Danke und LG

Answer 1

Du brauchst nur Deinen Term noch etwas umformen, dann kannst Du den Grenzwert berechnen:

$$\frac{x^2\sin(\frac{1}{x})}{x}=x \sin(\frac{1}{x}) \to 0$$

Die Konvergenz gegen 0 folgt, weil der erste Faktor, also x, gegen 0 konvergiert und der 2. Faktor, also der sin-Term, beschränkt ist (allgemein: \(|\sin(y)| \leq 1\))

Answer 2

Vielleicht so  \( =\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right)}{x} \)

Erst mal kürzen:

\( =\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \sin \left(\frac{1}{x}\right)}{1} =\lim \limits_{x \rightarrow 0} {x \sin \left(\frac{1}{x}\right)} \)

Und der Faktor \( { \sin \left(\frac{1}{x}\right)} \) ist beschränkt, also mit dem

x davor gibt es den Grenzwert 0.