Erst mal die cos-Reihe notieren
$$ cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)}^{n}*\frac { x^{2n} }{ (2n) ! } $$
und dann die Ableitung der Partialsummen machen. Da für n=0 in
der cos-Reihe die Konstante 1 steht, fällt diese dabei weg, also entsteht
$$ \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)}^{n}*2n*\frac { x^{2n-1} }{ (2n) ! } $$
Dann 2n in jedem Summanden kürzen
$$ \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)}^{n}*\frac { x^{2n-1} }{ (2n-1) ! } $$
Jetzt Index wieder bei 0 starten, also alle n durch n+1 ersetzen gibt
$$ \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)}^{n+1}*\frac { x^{2(n+1)-1} }{ (2(n+1)-1) ! } $$
$$ \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)}^{n+1}*\frac { x^{2n+1} }{ (2n+1) ! } $$
Dann Faktor -1 herausziehen
$$ (-1)* \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)}^{n}*\frac { x^{2n+1} }{ (2n+1) ! } $$
Das ist die sin-Reihe mit -1 davor
= - sin (x) .
Und weil die Folge der Partialsummen gleichmäßig konvergiert, ist also
cos ' (x) = - sin (x)
